圆锥曲线的经典结论

解析几何专题·经典结论第1页，共15页有关解析几何的经典结论一、椭圆1.点P处的切线PT平分12PFF在点P处的外角.（椭圆的光学性质）2.PT平分12PFF在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.（第二定义）4.以焦点半径1PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.（求导或用联立方程组法）6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为12,PP，则切点弦12PP的直线方程是00221xxyyab7.椭圆22221xyab(0ab)的左右焦点分别为12,FF，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.（余弦定理+面积公式+半角公式）8.椭圆22221xyab（0ab）的焦半径公式：10||MFaex，20||MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc，00(,)Mxy).（第二定义）9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交,PQ两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于,MN两点，则MFNF.证明：xkyc，2222222222222120xyabkybckybcabab222222222222,POPObcabbckyyyyyabkabk，2222222222222,POPOacabkacxxxxabkabk，解析几何专题·经典结论第2页，共15页22,NMPPQQaaaayyccyaxyax，00MNMNMFNFMFNFxcxcyy，易得：42MNbxcxcc10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点,PQ，且12,AA为椭圆长轴上的顶点，1AP和2AQ交于点M，2AP和1AQ交于点N，则MFNF.（MN其实就在准线上，下面证明他在准线上）证明：首先证明准线，1AP和2PA公共点，设,PPPxy，,QQQxy，不妨设PQxx，1PPykxa，2QQykxa，由12ykxaykxa，得交点1212PQQPPQPQQPPQxyxyayyakkxakkxyxyayy，由22221ykxcxyab，得2222222222220bakxakcxackab，令22222222MbakNbakck，，22222PQackabxxM，222PQakcxxM，22PQbckyyM，2PQabkNyyM，222PQQPabkxyxyM，2PQQPabckNxyxyM，则222222222abkabkNaMMxaabckNabckcMM，再根据上一条性质可得结论。解析几何专题·经典结论第3页，共15页11.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，00(,)Mxy为AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。（点差法）12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被0P所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.（点差法）13.若在椭圆22221xyab内，则过0P的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.（点差法）二、双曲线1.点P处的切线PT平分△12PFF在点P处的内角.（同上）2.PT平分△12PFF在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.（同上）4.以焦点半径1PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）（同上）5.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（0,0ab）上，则过0P的双曲线的切线方程是：00221xxyyab.（同上）6.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（0,0ab）外，则过0P作双曲线的两条切线切点为12,PP，则切点弦12PP的直线方程是00221xxyyab.（同上）7.双曲线22221xyab（0,0ab）的左右焦点分别为2,FF，点P为双曲线上任意一点：12FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.（同上）8.双曲线22221xyab（0,0ab）的焦半径公式：1(,0)Fc,2(,0)Fc当00(,)Mxy在右支上时，10||MFexa,20||MFexa.当00(,)Mxy在左支上时，10||MFexa,20||MFexa（同上）9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.（同上）解析几何专题·经典结论第4页，共15页10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q，且12,AA为双曲线实轴上的顶点，1AP和2AQ交于点M，2AP和1AQ交于点N，则MFNF.（同上）11.AB是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。（同上）12.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（0,0ab）内，则被0P所平分的中点弦的方程是：2200002222xxyyxyabab.（同上）13.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（0,0ab）内，则过0P的弦中点的轨迹方程是：22002222xxyyxyabab.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭圆1.椭圆222210xyabab的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于12,PP时，11AP与22AP交点的轨迹方程是22221xyab.证明：111,Pxy，111,Pxy，交点00,Pxy，由1122yyxaxayyxaxa，得2222100221yyxaxa，又2211221xyab，则2200221xyab2.过椭圆222210xyabab上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于,BC两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.证明：解析几何专题·经典结论第5页，共15页3.若P为椭圆222210xyabab上异于长轴端点的任一点，1F、2F是焦点,12PFF,21PFF，则tant22accoac.证法1（代数）证法二（几何）解析几何专题·经典结论第6页，共15页4.设椭圆222210xyabab的两个焦点为1F、2F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△12PFF中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.（上条已证）5.若椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，左准线为l，则当021e时，可在椭圆上求一点P，使得1PF是P到对应准线距离d与2PF的比例中项.6.P为椭圆222210xyabab上任一点，1F、2F是焦点，A为椭圆内一定点，则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.8.已知椭圆222210xyabab，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab.证明解析几何专题·经典结论第7页，共15页9.过椭圆222210xyabab的右焦点F作直线交该椭圆右支于,MN两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.证明10.已知椭圆222210xyabab，,AB是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22220ababxaa.11.设P点是椭圆222210xyabab上异于长轴端点的任一点,1F、2F是焦点，记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122tan2PFFSb.解析几何专题·经典结论第8页，共15页12.设,AB是椭圆222210xyabab的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，,ce分别是椭圆的半焦距离心率，则有：(1)22222|cos|||sabPAacco.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABabSba.13.已知椭圆222210xyabab的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于,AB两点，点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.证明14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.证解析几何专题·经典结论第9页，共15页16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）（角分线定理+合比公式）17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.（角分线定理）18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）双曲线1.双曲线22221xyab（0,0ab）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于12,PP时，11AP与22AP交点的轨迹方程是22221xyab.2.过双曲线22221xyab（0,0ab）上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于,BC两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.3.若P为双曲线22221xyab（0,0ab）右（或左）支上除顶点外的任一点,1F、2F是焦点,12PFF,21PFF，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.4.设双曲线22221xyab（0,0ab）的两个焦点为1F、2F,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△12PFF中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有：sin(sinsin)cea.解析几何专题·经典结论第10页，共15页5.若双曲线22221xyab（0,0ab）的左、右焦点分别为1F、2F，左准线为l，则当121e时，可在双曲线上求一点P，使得1PF是P到对应准线距离d与2PF的比例中项.6.P为双曲线22221xyab（0,0ab）上任一点,1F、2F是焦点，A为双曲线内一定点，则21||2||||AFaPAPF,当且仅当2,,AFP三点共线且P和2,AF在y轴同侧时，等号成立.7.双曲线22221xyab（0,0ab）与直线0