立体几何(向量法)

§8.8立体几何中的向量方法（Ⅱ）——求空间角与距离基础知识自主学习要点梳理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0n·b＝0.2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小是θ＝,ABCD2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝或．cos〈n1，n2〉-cos〈n1，n2〉3．点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d=ABnn[难点正本疑点清源]1．空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解．平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况．2．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．基础自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是()A．90°B．30°C．45°D．60°解析∵cos〈a，b〉＝12·2＝12，又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.D2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.C3．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，∴θ＝30°.A4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．解析由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)．∴Fa，a2，0，Ea2，a2，a2.∴|EF|＝a－a22＋a2－a22＋0－a22＝a24＋a24＝22a.22a5．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，1BC＝(2,0,2)，∴EF1BC＝2，∴cos1,EFBC＝22×22＝12，∴EF和BC1所成角为60°.答案60°题型分类深度剖析题型一求异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．思维启迪：（1）本题易于建立空间直角坐标系，把EC1与FD1所成的角看向量EC1→与FD1→的夹角，用向量法求解．(2)平移线段C1E让C1与D1重合，转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解．解方法一以A为原点，1ABADAA、、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是EC1→＝(1,3,2)，FD1→＝(－4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为β，则：cosβ=1111ECFDECFD＝1×－4＋3×2＋2×212＋32＋22×－42＋22＋22＝2114，∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为2114.方法二延长BA至点E1，使AE1＝1，连接E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1∥E1E，D1C1＝E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形．则E1D1∥EC1.于是∠E1D1F(或补角)为直线EC1与FD1所成的角．在Rt△BE1F中，E1F＝E1B2＋BF2＝52＋12＝26.在Rt△D1DE1中，D1E1＝DE21＋DD21＝AE21＋AD2＋DD21＝12＋32＋22＝14.在Rt△D1DF中，FD1＝FD2＋DD21＝CF2＋CD2＋DD21＝22＋42＋22＝24.在△E1FD1中，由余弦定理得：cos∠E1D1F＝D1E21＋FD21－E1F22×D1E1×FD1＝2114.∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为2114.探究提高方法一与方法二从两个不同角度求异面直线所成的角．方法一把角的求解转化为向量运算，方法二体现传统方法作—证—算；应注意体会两种方法的特点．“转化”是求异面直线所成角的关键．平移线段法，或化为向量的夹角．一般地，异面直线AC、BD的夹角β的余弦为cosβ＝ACBDACBD变式训练1如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点.1求证：EF∥平面ACD1；2求异面直线EF与AB所成角的余弦值；3在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°？若存在，求出BP的长，若不存在，请说明理由.1证明如图所示，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz，由已知得D0，0，0，A2，0，0，B2，2，0，C0，2，0，,B12，2，2，D10，0，2，E1，0，2，F0，2，1.易知平面ACD1的一个法向量是1DB＝2，2，2.又∵EF＝－1，2，－1，∴EF1DB＝－2＋4－2＝0，∴EF⊥1DB,而EF⊄平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.2解∵AB＝0，2，0，∴46cos,326EFABEFABEFAB3解设点P2，2，t0t≤2，平面ACP的一个法向量为n＝x，y，z，则0,0.ACAPnn∵AP＝0，2，t，AC=－2，2，0，0,0.xyytz－＋＝＋＝取y＝1，则x＝1，z＝－2t，∴n＝(1，1，－2t).易知平面ABC的一个法向量BB＝0，0，2，依题意知,〈BB，n〉＝30°或〈BB，n〉＝150°，∴1243cos2422tBBnt〈，〉,即2244(2),4tt解得t＝63或t＝－63舍去.∵63∈0，2]，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为63时，二面角P—AC—B的大小为30°.题型二求直线与平面所成的角例2如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1、A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的正弦值.思维启迪：建立空间直角坐标系，求出各点及向量的坐标，求出1AB与EG夹角的余弦值的绝对值即可.解如图所示，建立空间直角坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A2a，0，0，B0，2a，0，D0，0，1，A12a，0，2,Ea，a，1，G(23a，23a，13)，2,,333aaEG,0,2,1BDa.222033EGBDa,∴a=1,112,,333EG,2,2,2AB.EG为平面ABD的一个法向量.且cos1112,3ABEGABEGABEG,∴A1B与平面ABD所成角的正弦值是23.探究提高平面的法向量，有时需要求出，有时题目本身就有，要准确理解题意，把法向量找出来.如本题中由于E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则EG⊥平面ABD，EG即为平面ABD的法向量.变式训练2如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.1求DP与CC′所成角的大小；2求DP与平面AA′D′D所成角的大小.解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.DA＝1，0，0，'CC＝0，0，1.,连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，,延长DP交B′D′于H.设DH＝m，m，1m0,由已知,DHDA＝60°，由cosDHDADADH,DHDA,可得2m＝m＋.解得m=22,所以DH=（22，22，1）（1）因为cos220011222,'.212DHCC所以,'DHCC＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.（2）平面AA'DD'的一个法向量是DC=(0,1,0).因为cos,DHDC=220010122212,所以,DHDC＝60°，,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.题型三求二面角例32010·陕西如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点.1证明：PC⊥平面BEF；2求平面BEF与平面BAP夹角的大小.思维启迪：建立空间直角坐标系，利用向量坐标求解.1证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A0，0，0，B2，0，0，C2，22，0，D0，22，0，P0，0，2.又E，F分别是AD，PC的中点，∴E0，2，0，F1，2，1.PC＝2，22，－2，BF＝-1，2，1，EF＝1，0，1.(2)解由（1）知平面BEF的一个法向量n1＝PC=2，22，－2，平面BAP的一个法向量n2＝AD＝2，22，0，∴n1·n2＝8.,设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，,则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1212||8||||422nnnn22，∴θ＝45°.∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.2420,2020.,..PCBFPCEFPCBFPCEFPCBEF平面探究提高求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.变式训练3已知四棱锥P—ABCD的直观图如图①及侧视图如图②，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB.1求证：AD⊥PB；2求异面直线PD与AB所成角的余弦值；3求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.1证明取AB中点O，连接PO，则PO⊥AB，PABABCDPOABPABABCDABPOPAB平面平面平面平面＝平面POABCDADABCD平面平面POADADABPOABOADPABPBPAB