立体几何

第一章立体几何初步章末整合提升1知识网络2要点归纳3专题突破返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B知识网络返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B要点归纳返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B数学研究的对象有两大块——数量关系和空间形式.其中“空间形式”主要是由几何研究的.中学数学有三大能力——计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力.立体几何正是训练逻辑推理能力和空间想象能力的好素材.在训练发展思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作用.本章内容的学习，从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部，具体到抽象的原则，认识空间图形，通过直观感知认识空间图形，逐步形成和发展几何直观能力和空间想象能力，以及运用几何语言、图形语言进行交流的能力.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面几何、集合、函数、方程的联系上.贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法.本章内容由两大部分构成，前一部分主要介绍了常见的多面体和旋转体的结构特征，以对几何体的直观认识为主.后一部分在学生丰富的直观形象基础上系统讨论了空间点、线、面的位置关系，着重从理论上研究线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系.从而发展空间想象能力.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B专题突破返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B专题一⇨空间几何体的直观图与三视图画空间几何体的直观图与三视图主要依据它们的概念及画法规则.(2017·北京文，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为导学号92434449()A．60B．30C．20D．10D典例1返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析]由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥P－ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D．返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B『规律方法』识读三视图，还原几何体画出直观图，是一项重要的基本功，解题要点是紧扣三视图画法规则，抓住观察者与几何体的方位和正投影的性质，确定几何体的形状.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B〔跟踪练习1〕导学号92434450一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是()AA．233B．476C．6D．7返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析]由三视图知，几何体的直观图如图所示.该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B专题二⇨表面积和体积的计算如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为导学号92434452()A．23B．33C．43D．32A典例2返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为导学号92434452()A．23B．33C．43D．32A典例2返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析]本题主要考查多面体体积的求法.解法一：可取EF中点G，连接AG、DG，可知GD綊FC，AG綊BF，∴四面体ADGE是正四面体，而BDF－ADG是斜三棱柱，且其体积是正四面体体积的3倍.∴V＝4×VA－DEG＝4×34×63×13＝23.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B解法二：在几何体的左端补上一个四棱柱E－ANMD，使其成为斜三棱柱.可知AN＝AD＝MD＝MN＝1.且NE＝EM＝1.∴四棱锥E－ANMD是正四棱锥.则VE－ANMD＝13×1×22＝26.而VBCF－NEM＝32VE－BNMC＝32×2×VE－ANMD＝22.∴VABCDEF＝VBCF－NEM－VE－ANMD＝22－26＝23.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B『规律方法』空间几何体的表面积和体积是立体几何中的重要知识，与实际问题联系密切，求解时，要熟练掌握几何的表面积和体积公式，注意割补法和等积变换思想，等价转化思想，并要把握住几何体的特点，适当时候可借助轴截面或其他平面图形处理几何体中的数量关系.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B〔跟踪练习2〕导学号92434453(2017·山东理，13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为__________.[解析]该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.2＋π2返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B专题三⇨空间中的平行、垂直问题如图，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC＝10，PA＝6，PC＝8.导学号92434454(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；(2)证明：PA⊥平面BOE.典例3返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析](1)如图，取BC的中点H，连接FH、GH，∵G是OC的中点，∴GH∥OB，FH∥PC，又EO∥PC，∴FH∥EO.∴平面FGH∥平面EOB，∴FG∥平面BOE.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B(2)∵AB＝BC，O为AC的中点，∴BO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PA.又∵AC＝10，PA＝6，PC＝8，∴AC2＝PA2＋PC2，∴PC⊥PA，又EO∥PC，∴EO⊥PA.OE∩BO＝O.∴PA⊥平面BOE.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B『规律方法』1.判断或证明两直线平行的常用方法：(1)用定义(在同一平面内，无公共点)；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)两平面平行的性质定理；(5)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.2．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇔a∥β)或(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B3．判断或证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义(无公共点)；(2)利用面面平行的判定定理(如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行)；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)平行于同一个平面的两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.4．判断或证明两直线垂直的方法：(1)用定义(两直线成90°角)；(2)线面垂直的性质(a⊥α，b⊂α，⇒a⊥b)；(3)三垂线定理及其逆定理(PA⊥平面α，PB是平面α的斜线，a⊂α，则AB⊥a⇔PB⊥a).返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B5．判断证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).6．判断或证明面面垂直的方法(1)用定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)；(3)α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B〔跟踪练习3〕导学号92434455如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点.(1)求证：直线EF∥平面ACD；(2)求证：平面EFC⊥平面BCD.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析](1)∵E、F分别为AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴EF∥平面ACD.(2)∵CB＝CD，F为BD的中点，∴CF⊥BD.又∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，又EF∩CF＝F，∴BD⊥平面CEF.又BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B专题四⇨探索性问题如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2.导学号92434456(1)证明：平面BDD1B1⊥平面ACD1；(2)若E是BC1的中点，P是AC的中点，A1C1∩B1D1＝Q，F是A1C1上的点，C1F＝mFA1，试求m的值，使得EF∥D1P.典例4[思路分析]可先确定特殊点，再对一般性情况进行证明.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析](1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2.故四边形ABCD是正方形，AP⊥DP.又∵D1D⊥平面ABCD，AP⊂平面ABCD，∴D1D⊥AP，D1D∩DP＝D，∴AP⊥平面BDD1B1.∵AP⊂平面AD1C，∴平面BDD1B1⊥平面AD1C.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B(2)∵P是AC的中点，∴D1P∥BQ.要使得EF∥D1P，则必有EF∥BQ.在△QBC1中，E是BC1的中点，F是QC1上的点，EF∥BQ，∴F是QC1的中点，即3C1F＝FA1.故所求m的值是13.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B『规律方法』立体几何中的探索性问题在近几年高考中经常出现，这种题型主要以平行、垂直、距离和角的问题等为背景，有利于空间想象能力、分析判断能力的考查，也有利于创新意识的培养.立体几何探索性命题的类型主要有：一、探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；二、探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B〔跟踪练习4〕导学号92434457在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析](1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB、AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1、AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B(2)取线段AB的中点M，连接A1M、MC、A1C、AC1，设O为A1C、AC1的交点.由已知，O为AC1的中点.连接MD、OE，则MD、OE分别为△ABC、△ACC1的中位线，所以，MD綊12AC，OE綊12AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC.所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B专题五⇨转化与化归的思想(2016·山东文，18)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.导学号92434458(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G、H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.典例5返回导航第一章立体几何初步数学必修②·人教版B[解析](1)因为EF∥DB，所以EF