6随机变量的数字特征

3.1离散型随机变量的数学期望1.离散型随机变量数学期望的概念2.几种常用分布的数学期望本章上页下页3.1离散型随机变量的数学期望1.离散型随机变量数学期望的概念例1求2,3,2,4,2,3,4,5,3,2这10个数的平均值.解E(X):10个数的平均.2324234532()3.10EX4321()23453.10101010EX2345432110101010kkxf41().kkkEXxf本节上页下页3.1离散型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量X的概率分布为如果级数()(1,2,3,),kkPXxpk绝对收敛,则称该级数为随机变量X的数学期望(或均值).11221kkkkkxpxpxpxp()EX1.kkkxp1().nkkkEXxp本节上页下页3.1离散型随机变量的数学期望例2已知一批产品经检验分为优等品,一、二、三等品及等解外品5种,其构成比例依次是0.2,0.5,0.15,0.1,0.05.按优质235.47.190.050.10.150.50.2Xp()20.0530.15.40.157.10.590.26.56.EX优价的市场规律,每类产品的售价分别为9元、7.1元、5.4元、3元、2元.试求这批产品的平均售价.本节上页下页3.1离散型随机变量的数学期望例3甲、乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数解分别用X,Y表示,根据长期的统计资料分析知,它们的分布列01230.50.20.20.1Xp01230.40.30.20.1Yp如下:问哪一台机床的质量好些？()00.510.220.230.10.9,EX()00.410.320.230.11.0,EY()().EXEY本节上页下页3.1离散型随机变量的数学期望2.几种常用分布的数学期望(1)两点分布~(01)XX01pqp()01.EXqpp本节上页下页3.1离散型随机变量的数学期望(2)二项分布(),(0,1,2,,),kknknPXkCpqkn0()nkknknkEXkCpq1!!()!nknkkknpqknk1(1)(1)1(1)!(1)![(1)(1)]!nknkknpnpqknk1(1)01(1)!![(1)]!nrnrrrknnppqrnr令1().nnpqpnp本节上页下页3.1离散型随机变量的数学期望(3)泊松分布(),(0,1,2,;0),!kPXkekk11.(1)!kkek101()!(1)!kkkkEXkeekk.ee本节上页下页例43.1离散型随机变量的数学期望某种子公司的某类种子不发芽率为0.2,今购得该类种子解~(1000,0.8).XB1000粒,求这批种子的平均发芽粒数.()10000.8800.EXnpX:这批种子的发芽数.本节上页下页例53.1离散型随机变量的数学期望在一部篇幅很大的书籍中,发现只有13.5%的页数没有印解(),(0,1,2,).!kPXkekk刷错误.如果我们假定每页的错字个数是服从泊松分布的随ln0.1352.变量,求每页的平均错字个数.0().0!00.135ePeXX:每页的错字个数.()2.EX本节上页下页3.2连续型随机变量的数学期望1.连续型随机变量数学期望的概念2.几种常用分布的数学期望上页下页本章3.2连续型随机变量的数学期望1.连续型随机变量数学期望的概念定义设连续型随机变量X的概率密度为p(x),如果积分||()d,()dxpxxxxpx存在则称积分为随机变量X的数学期望(或均值),简称期望.()EX()d.xpxx本节上页下页例13.2连续型随机变量的数学期望已知随机变量X的概率密度为解11,01,()10,.xexpxe其他11002[d].11xxeexeexee10()()dd1xeEXxpxxxexe求X的期望E(X).本节上页下页3.2连续型随机变量的数学期望2.几种常用分布的数学期望(1)均匀分布()d()dbaxxpxxEXxba.1,,()0,axbpxba其他2221122.21()babbaxababa本节上页下页3.2连续型随机变量的数学期望(2)指数分布0,()(0).0,0,xxepxx0()dd()xxpxxxXeEx01dttxtet令001d1.ttteet本节上页下页3.2连续型随机变量的数学期望(3)正态分布221()21()(,0).2xpxex221()2()1d2xXxExe2121()d2txttet令2211221dd,22tttetet01.本节上页下页3.2连续型随机变量的数学期望例2解110001()1000.EX若某种电子元器件的寿命X(小时)服从参数为的指数分布,求该种元器件的平均寿命.即该元器件的平均寿命为1000小时.本节上页下页3.3期望的简单性质求出2,3,2,4,2,3,4,5,3,2的平方的平均值E(X2).222222222222324234532()10EX222243212345.101010104221().kkkEXxf22():kkPXxp4221().kkkEXxp4331().kkkEXxp上页下页本章3.3期望的简单性质X是离散型随机变量:()(1,2,3,),kkPXxpk()().kkkEfXfxp()()()d.EfXfxpxxX是连续型随机变量,X的密度为p(x):随机变量函数的均值公式上页下页本章3.3期望的简单性质期望的性质:(1)().Ecc(2)()().EkXkEX(3)()().EXbEXb(4)()().EkXbkEXb其中k、b、c都是常数.上页下页本章3.3期望的简单性质(4)()().EkXbkEXb()d()dkxpxxbpxx[()]()()d.EfXfxpxx()()()dEkXbkxbpxx证()..kEXb上页下页本章3.3期望的简单性质例1解310230.30.10.20.150.25Xp[()]().kkkEfXfxp已知随机变量X的概率分布列为22()kkkEXxp求X2的期望E(X2).22222(3)0.3(1)0.100.220.1530.255.65.上页下页本章3.3期望的简单性质例2解2~(0,1),().XNEX已知求222221()()dd2xEXxpxxxex[()]()()d.EfXfxpxx221d2xxe222211d.22xxexxe10上页下页本章例33.3期望的简单性质根据统计资料,一位40岁的健康人在5年内仍然活着的解(01,),ppp为已知概率为()()(1)(1).EXapabpabp在5年内死亡的概率为1-p,保险1Xaabppp公司开办人寿保险,参加者需交保险费a元(a为已知),如果5年内死亡,公司赔偿b元(ba).(1)如何确定b,才能使公司可期望获益？(2)如果有m人参加公司保险,公司可期望收益是多少？上页下页本章3.3期望的简单性质(2)如果有m人参加保险,公司可望收益为()()(1)(1)0.EXapabpabp(1)0,abp.1abp,ba.1aabp()()(1).EmXmEXmambp上页下页本章3.4方差及其简单性质1.方差的概念2.常用分布的方差3.方差的简单性质*4.矩(略)上页下页本章3.4方差及其简单性质1.方差的概念(1)2,3,2,4,2,3,4,5,3,2;(2)2,3,3,3,4,3,2,3,4,3,3,3.平均值之差的平方和的平均值:222212222221()[(23)(33)(23)(43)10(23)(33)(43)(53)(33)(23)]1.DX22222222222221()[(23)(33)(33)(33)12(43)(33)(23)(33)(43)1(33)(33)(33)].3DX21()().DXDX本节上页下页3.4方差及其简单性质(1)2,3,2,4,2,3,4,5,3,2;222214321()(23)(33)(43)(53).10101010DX4211()[(()].kkkDXxEXf4211()[(()].kkkDXxEXp():kkPXxp本节上页下页3.4方差及其简单性质定义1设离散型随机变量X的概率分布为()(1,2,3,),kkPXxpk21[()]kkkxEXp则和式称为X的方差.()DX21[()].kkkxEXp本节上页下页3.4方差及其简单性质定义2设连续型随机变量X的密度是p(x),则称广义积分2[()]()dxEXpxx称为X的方差.()DX2[()]()d.xEXpxx方差D(X)的算术平方根()DX叫做随机变量X的标准差或均方差.2()[()].DXEXEX本节上页下页3.4方差及其简单性质22()()[()].DXEXEX方差的简化公式2()[()]DXEXEX证2[()]()dxEXpxxX是连续型随机变量:2()[()].DXEXEX22[2()()]()dxxEXEXpxx22()d2()()d()()dxpxxEXxpxxEXpxx本节上页下页3.4方差及其简单性质22()2()()()1EXEXEXEX22()[()].EXEX22()()d2()()d()()dDXxpxxEXxpxxEXpxx本节上页下页3.4方差及其简单性质例1解800090001000011000120000.10.20.40.20.1Xp设某显像管厂生产一种规格的显像管的使用寿命X(小时)()80000.190000.2100000.4EX的概率分布列如下:110000.2120000.110000.求显像管使用寿命的平均值、方差和标准差.本节上页下页3.4方差及其简单性质800090001000011000120000.10.20.40.20.1Xp()10000.EX222222()80000.190000.2100000.4110000.2120000.1101200000.EX22()()()DXEXEX2101200000100001200000.()12000001095.45.DX本节上页下页3.4方差及其简单性质2.常用分布的方差(1)两点分布().EXp222()10.EXpqp222()()()(1).DXEXEXpppppq本节上页下页3.4