1最优化理论

建模方法之最优化理论吉林农业科技学院陈晓弟生活何处不优化最短路径优化最省时间优化管理科学优化工程设计优化市场调度优化城市建设优化建模真题之优化问题1994年全国赛A题：逢山开路1996年全国赛A题：最优捕鱼策略2001年全国赛B题：公交车优化调度2010年东三省A题：企业的营销管理问题2010年东三省B题：周游全中国据统计，1992~2005年全国赛28个赛题中有关优化问题有19个，最优化方法是用的最多的方法之一。旅行商问题一个商人拟到n个城市去推销商品，已知每两个城市和之间的距离为，如何选择一条道路，使得商人每个城市走一遍后回到起点，且所走的路径最短。jAijdiA这个问题称为旅行商问题(TravelingSalesmanProblem)，简称TSP。我们应该怎么做？最优化问题概述最优化问题的定义最优化问题的分类解决最优化问题的方法最优化模型的基本要素最优化问题的定义最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的问题即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确定时使用最少的资源最优化问题的分类动态规划非线性规划目标规划规划整数规划线性规划数学规划10解最优化问题的方法最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法最优化模型基本要素决策变量、目标函数和约束条件（1）决策变量是问题中待确定的未知因素。（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。旅行商问题问题类别：0-1规划问题也是整数规划问题决策变量：目标函数：约束条件：变量—10ijxjiijijxdzminjinjixnjxnixtsijniijnjij,,,2,1,},1,0{,,2,1,1,,2,1,1..11距离矩阵D：元素为ijd0003212232111312nnnnndddddddddD决策矩阵X：元素为ijx假设有n个城市，最短路径的排序为1~n，则可以得到这样两个矩阵。000101000010X线性规划模型线性规划又称线性最优化,当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时称为线性规划；否则称为非线性规划。一般形式;0;0;0::221122222121112121112211nnnnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaSTxaxaxayMax基金使用优化模型某公司有100万元的资金可供投资（要求全部用完)。该公司有六个可选的投资项目，其各种数据如表1－2所示。投资项目风险（%）红利（%）增长率（%）信用度11842242657103109122447810512615468886该公司想达到的目标为：投资风险最小，每年红利至少为6.5万元，最低平均增长率为12%，最低平均信用度为7。请设计投资计划。（1）决策变量本问题的决策变量是在每种投资项目上的投资额。设xi为项目i的投资额（万元）（i=1,2,,6）（2）目标函数本问题的目标为总投资风险最小，即123456Minz0.180.060.100.040.120.08xxxxxx（3）约束条件本问题共有五个约束条件:①各项目投资总和为100万元;②每年红利至少为6.5万元;③最低平均增长率为12%;④最低平均信用度为7;⑤非负约束。于是，可以建立线性规划数学模型：12345612345612345612345Minz=0.180.060.100.040.120.081000.040.050.090.070.060.086.5s.t.0.220.070.120.080.150xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx　6123456123456.0812410210467000xxxxxxxxxxxxx，，，，，这是个典型的线性规划模型，为了解这个模型，我们可以借助LINGO、MATLAB等软件或者直接用单纯形法来解决。多目标规划模型在多目标的最优化问题背景下所建立起来的数学规划问题即为多目标规划问题。（多目标决策）在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优，比如企业可能会要求产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标，运输满足等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解。多目标规划可以按照实际情况分主次，轻重缓急来考虑问题。多目标规划的解法一、将多目标转化为单目标优选法线形加权法平方和加权法乘除法分层序列法二、直接用数学方法求非劣解pi,,2假定要求个目标的最优值，约束条件为。如果其中一个目标比较关键，如希望它取极小值，使其他目标满足一定条件，如使pxfxfxfp,,,21Rxxf1xf1min'RxiiifxffRxpifxffRii,,,2,11.优选法（使主要目标优化兼顾其它目标）而把问题转化为单目标规划问题当个目标都要求最小时，可以给每个目标相应的权系数，且，构成新的目标函数pxfxfxfp,,,210i11piixfxFipii1然后使这个新的目标函数取极小值。这里的权系数大小根据每个目标函数的相对重要性来确定。2.线性加权法首先确定各个目标的希望目标值，要求所有的目标值和相应的希望目标值尽可能接近。此时采用下列评价函数：然后求。xfi*if21*piiifxfxFxFmin3.平方和加权法式中，为加权系数，可按各目标被重视的程度给出。如果对其中不同的目标重视程度不同，则可采用加权的平方和作为评价函数，即求：2*1miniipiiRxfxfxFi4.乘除法设有个目标。式中，有个要求极小值，例如设，而余下的要求其极大值，并假定。这时，采用以下评价函数：pxfxfxfp,,,21xfxfxfk,,,21xfxfxfpkk,,,210,,,21xfxfxfpkkkxfxfxfxfxfxfxFpkkk2121作为单目标问题求极小值。5.分层序列法将目标按重要性的次序分成最重要目标、次重要目标，如。然后按顺序将一个多目标规划问题转化为一系列单目标优化问题来求解。xfxfxfp,,,21最后所求出的为最优解。步骤：主要目标的最优集合为，再在集合内求次重要目标的最优解，设此时的最优解集合为，如此继续进行，直到求出最后一个目标函数的最优解。第一步第二步第步xf11R1Rxf22R1110minxfxfRx2221minxfxfRxppppRxxfxfp1minpx某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维修期限f1(年)，每100升汽油所跑路程f2(里)，最大载重f3(吨)，价格f4(万元)，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目标属性的指标值fij如下表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A22.527003.665低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般线性加权法解多目标规划问题首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。先将定性指标定量化：效益型指标很低低一般高很高13579很高高一般低很低成本型指标可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下可靠性一般低高很高5379灵敏性高一般很高一般7595按以下公式作无量纲的标准化处理1)(99minmaxminffffaijij其中：ijiijiffffminmaxminmax变换后的指标值矩阵为：aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110011A3142.25100167100A440.625.756725.751001假设权系数向量为评价函数为：925.57)(max*27.40)(925.57)(6.40)(34)(36144613361226111AUUUaAUaAUaAUaAUjjjjjjjjjjjj故最优方案为选购A3型卡车61)(jijjiawAU）（0.31,0.1,0.2,0.2,0.1,0.w动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。使用时间俞长，处理价值也俞低。另外，每次更新都要付出更新费用。因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。动态规划模型是解决这类问题的有力工具。