高级宏观经济学的数学预备知识经典总结

第一章数学预备知识本章讲述若干数学预备知识，包括导数及其应用、静态优化、积分、微分方程、差分方程以及相位图分析等内容。这些预备性的数学知识对于学习高级宏观经济学是必须的，但是在微观经济学、数理经济学、时间序列分析、高等数学等课程中有详细的讨论，在这里我们只是将与我们后面的学习有关的知识要点罗列在一起并在必要时做出一定的经济解释。这里的数学知识只是与动态优化相关的部分，对于学习高级宏观经济学必须的其他数学知识并未涉及，特别是时间序列、概率论等知识。第一节导数及其应用一、导数有函数()fq，导数就是111()()limlimqqqfqqfqddqqq。导数的经济含义是：边际量、q变动一单位时π变动的大小、q对π的变动速率。二、常用求导公式（1）fb为常数，0dfdbdxdx；（2）b为常数，(())dbfxdfbbfdxdx；（3）b为常数，1bbdxbxdx；（4）1(ln)xx；（5）()lnxxaaa；（6）()xxee；（7）()fgfg；（8）()fgfgfg；（9）2()ffgfggg；（10）链式法则：(),()yfxxgzdydydxdzdxdz【例题1-1】：求下面各题的导数。（1）323yxyx（2）343yxyx（3）2325621212(25)zyyxdzdzdyyyxdxdydx（4）()()axaxaxdededaxeadxdaxdx练习：求导数ln()daxdx、ln()dxtdt、2(ln)dxdx三、二阶导数二阶导数表示边际量的变化速率，可用如下方式表示：22(),,()dyddyfxdxdxdx四、微分22(),[]()yfxdyfdxdfdxddydydxfdxdxfdxdx导数是微商。五、偏导数12(,)yfxx，2121210(,)(,)limxbfxbxfxxffxb。偏导数与经济学中的一个常见假设——其他条件不变（ceterisparibus）假设是对应的。高阶偏导数：2()ijijijfffxxxx求偏导数与求导数的方法没有太大的差别，只是在求的时候让其他变量固定即可。Young定理：只要ijf和jif存在，则ijf=jif六、齐次函数的两个性质k次齐次函数是自变量都扩大t倍，函数值扩大t的k次方倍。齐次函数有两个重要性质。第一个性质有时叫齐次性：k次齐次函数的一阶偏导数是k-1次的。12,112,11(,)(,)()knnkfftxtxtxtxftxtxtxttftx1112,112,(,)(,)knnftxtxtxtfxxx齐次函数的第二个重要性质是欧拉定理：1122nnkfxfxfxf11(,)(,)knntfxxftxtx对t求导：111111(,)(,)(,)knnnnntfxxxftxtxxftxtx令11221nntkfxfxfxf如果1k则有：11nnfxfxf。这就是分配尽定理。在宏观经济学中我们常常讨论CD生产函数的齐次性问题。在微观经济学中常常要讨论由齐次函数正单调变换得到的位似函数。七、泰勒近似泰勒近似在宏观经济学中很有用，因为有些方程不能得到显示解，只有对它进行近似处理。泰勒近似的另一应用是用来直观理解优化问题。要得到优化问题的一阶条件，我们对目标函数进行一阶近似，而二阶条件可从二阶近似中得到。任意函数()x可以近似被表述为x的多项式的形式：()20000000()()()()()()()()0!1!2!!nnxxxxxxxxxxxn我们常用的有线性近似000()()()()0!1!xxxxx和二次近似200000()()()()()()0!1!2!xxxxxxxx【例1-2】：将1()1xx和()ln(1)yxx分别在0x的邻域内进行线性近似。0(1)1xx()(0)(0)(0)xx0111xyx()ln(10)yxxx二元函数的泰勒近似121211211212222111211121211222221222(,)(,)(,)()(,)()1[(,)()2(,)()()2!(,)()]fxxfxxfxxxxfxxxxfxxxxfxxxxxxfxxxx第二节静态优化一、约束优化与拉格朗日乘子的解释约束优化问题为：12max()..()(,)FxstGxcxxx一阶条件（FOC）：1122112212()(())00xxxxxxxxLFxcGxLFGxLFGxFGFG值函数：12112211221122(,),()()VFxxcGxdcGdxGdxdVFdxFdxGdxGdxdcdVdc上面的公式可以通过包络定理更简洁地推导出。度量的是条件变化对目标函数最优值的影响，如果F是效用，Gc是预算约束，表示增加以单位货币时对最优效用的影响。影子价格：还可以看成是以目标函数值度量的约束的单位支付意愿，根据微观经济学的知识可知，支付意愿即为价格，而这种价格与市场价格有别，甚至有时并没有通过市场来交易，只是反应的需求价格，因而被称为影子价格。拉格朗日乘子都可以作类似解释。二、不等式约束非负约束：max()..00,0,0fxstxfxxf不等式约束：12121122max(,)..(,)0[]000,0,0fxxstgxxLfgzfgfggg三、包络定理()()(,)()maxxxxaMafxadMafdaa如果是约束优化问题，则右边是拉格朗日函数的偏导数：()()(,)(,)0(,)(,)()maxxxxaMafxaGxaLfxaGxadMaLdaa推导的表达式：如果问题与约束是()()()()[()]()maxxxcMafxGxcLfxcGxdMcdxLLdcdc【例2-1】2max64..0xxstx2400(24)020(2)00xxxxxxxxx【例2-2】121212max2..0,02312xxstxxxx12122(1223)Lxxxx1122112221210,0,00,0,00,12320,(1232)0xxxxLxLxLxLxxxxx1222,13xxLL有：1122220,0,(22)0130,0,(13)0xxxx0111x1x①x1=0,L=2-20②x0,LX11032③x=0,1-30④x20,1-3①+③，①+④，②+③，②+④四种组合，首先排除②+④，因为1和13矛盾。①+④排除，因为13时，1220xL由此21,03x由1212(1223)012230xxxx16x1260xx四、静态优化的进一步解释1、从泰靳近似看静态优化21()()()()2xxFxFxFxxFxx将任意函数近似为二次函数。如果x充分靠近X，二次项支配了高阶项。二次函数最大值（极大值）的条件是二次项的系数小于0，即0F是二阶充分条件。2、从套利的思想看优化过程套利就是利用价格差来获利，在市场均衡时应不会存在套利机会。我们利用一个例子来说明用套利思想解释优化条件。假定消费者在既定收入I下选择12,xx使效用最大化。首先，消费者进行这样的套利操作：将极少的收dI从消费商品2转移到消费商品1。1x增加1dIP，2x减少2dIP。11Mudx是增加1x所增加的效用。22Mudx是2x变动带来的效用变动。121122121212()MuMudIdIMudxMudxMuMudIPPPP（注意，这里假定1dx变动如此之小，以至于1Mu来不及变化）如果消费者通过调整获得效用增量为正，则原消费选择不是最优的。如果初始选择是最优的，则上式不可能为正。（这就是无套利）。12120MuMupP其次，相反的操作，即减少用于1x的支出dI用于多购买2x，有1212121200MuMuMuMuPPPP此为无套利条件：额外单位货币用于1和2是无差异的，或微小地改变选择不会带来好处。（熟练的人可以从无套利条件直接推导出优化问题的一阶条件）。第三节积分一、积分()()()()dFxfxfxdxFxcdx积分是微分的逆运算二、不定积分的基本法则①11(1)1nnxdxxcnn②xxedxec，/lnxxadxaac③1lndxxcx④()()()()()fxfxfxfxedxedfxec⑤()()ln()()()fxdfxdxfxcfxfx⑥fgdxfdxgdx⑦积的积分代换法则：()()dufudxfududx⑧vduuvudv（分部积分）三、对定积分求导的Leibniz规则这个公式在后面将一再出现。(,,)(,)baFabcfctdt①(,)bcaFfctdtc穿过去（上、下限没有c）②(,)(,)tbFfctfcbb③(,)Ffcaa若：()()()(,)bcacFcfctdt()()(,)(,())()(,())()bcacdFfcctdtfcbcbcfcacacdc【例3-1】：求积分①3123523512xxdxcxc②2222222221414(2)27575(2)(75)ln(75)75xxxxxxedxedxdxxxdedxxexcx【例3-2】求对x的导数2122()ln(1)xxfxtdt112222224ln(1())()ln(1())()12ln(1)ln(1)2fxxxxxxxx第四节微分方程（组）宏观经济学所用到的数学知识与微观经济学有显著的区别。一般情况下，微观经济学用到优化知识即可，而宏观经济学远不止如此。微分、差分方程（组）在宏观经济学中用得远比微观中频繁。下面简单介绍相关知识。一、具有常系数和常数项的一阶线性微分方程阶：导数的最高阶数次：导数的最高次幂如果()()dyutywtdt，则是一阶线性的。这里没有dyydt之类的项。注意：u、w是自变量t的函数，如果u、w与t无关，则是有常数和常数项的一阶线性微分方程。严格来讲自变量t不一定是时间，可以是任意的自变量，但是在宏观经济学中碰到的许多情况中自变量t确实是指时间。如dyaybdta、b为常数如果0b0dyaydt齐次的如果0bdyaybdt是非齐次的非齐次的dyaybdt的解与齐次方程0dyaydt的解相关（一）分离变量0dyaydt11lnatcatdyadtdyadtyyyatcyeeAeA是常数，这一通解可由初始条件（如0(0)yy）得到定解【例4-1】20dyydt(0)10y22,(10)1010ttyAeAyye问题：如果0a时，如何？0dyydt？练习：Arrow-Pratt相对风险厌恶度量：()()()uxxvxux。如果是相对风险厌恶系数为常数（我们常常假定如此），求效用函数的形式。（二）、非齐次方程方程形式为：dyaybdt非齐次方程的解由余函数cy和特别积分项py组成。余函数c