轴向拉伸和压缩4概要

直杆在轴向拉伸时，将引起轴向尺寸的增大和横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下，将引起轴向尺寸的缩短和横向尺寸的增大。FFll’b’b杆件在轴线方向的伸长为lll纵向线应变ll2.6轴向拉伸或压缩时的变形杆件在横向的变形为bbbbb横向线应变2.6轴向拉伸或压缩时的变形FFll’b’b杆件横截面上的正应力为NFFAA工程上使用的大多数材料，其应力与应变关系的初始阶段都是线弹性的。即当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，即胡克定律。可写成ENFlFllEAEA式中的弹性模量E随材料而不同。llNFFAAE2.6轴向拉伸或压缩时的变形NFlFllEAEA从上式看出，对长度相同，受力相同的杆件，EA越大则变形Δl越小，即抵抗变形的能力越强。2.6轴向拉伸或压缩时的变形即：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长Δl与拉力F和杆件的原长度l成正比，与横截面面积A、E成反比。这是胡克定律的另一表达形式。对于轴向压缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸长Δl看作是缩短就可以了。EA—抗拉(或抗压)刚度。试验结果表明：当应力不超过比例极限时，有llbb/称为横向变形因数或泊松(Poisson,Simeon-Denis）（1781—1840）法国数学家)比，是一个量纲一的量。因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短时横向增大，所以'和的符号总是相反的。'和的关系可以写成了解P27:表2-22.6轴向拉伸或压缩时的变形谁首先提出弹性定律?弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力，有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”例1如图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成＝30º的角度，长度均为2m，直径均为25mm，钢的弹性模量为E＝210GPa。设在A点处悬挂一重物P＝100kN，试求点A的位移A。ABC①②解：列平衡方程，考虑销钉A的受力，求两杆的轴力AxyFN2FN1N2N10,sinsin0xFFFN1N20,coscos0yFFFPN1N22cosPFF两杆的变形为N1122cosFlPlllEAEA是伸长变形。ABC①②ABC①②变形的几何相容条件是：变形后，两杆仍应铰结在一起。以两杆伸长后的长度BA1和CA2为半径作圆弧相交于A，即为A点的新位置。AA就是A点的位移。A①②A1Δl1A2Δl2AAA①②A1Δl1A2Δl2因变形很小，故可过A1，A2分别做两杆的垂线，相交于A,则A'12'cos2cosAlPlAAEA24dA392241001020.001293m1.293mm()2210100.025cos30A切线代弧线原理ABC①②A注意变形图中杆件的伸长(或缩短)与拉力（或压力）一定要对应。例2如图所示圆锥形杆，两端受轴向力F作用。设轴长为l，左右端的直径分别为d1与d2，试计算杆件的伸长量。d1d2l)(xdx解：如图，设任一截面的直径为d(x):则该截面面积为:dddxdxl211()=()4ddAxdxl2211()截面的轴力为F在x处取长为dx的段，在该段上可认为截面不变，则杆件的伸长量为：12d44lFxFllddEddEdxl02211()()4ddAxdxl2211()d1d2ld()xxdx2.9应变能的概念固体受外力作用而变形。在变形过程中,外力所作的功将转变为储存于固体内的能量。当外力逐渐减小时,变形逐渐恢复,固体又将释放出储存的能量而作功。固体在外力作用下因变形而储存的能量称为应变能。例如内燃机的气阀开启时,气阀弹簧因受压力作用发生压缩变形而储存能量。当压力逐渐减小,弹簧变形逐渐恢复时,它又释放出能量为关闭气阀而作功。2.9.1应变能设受拉杆件上端固定，作用于下端的拉力由零开始缓慢增加。拉力F与伸长Δl的关系如图a所示。在逐渐加力的过程中,当拉力为F时，杆件的伸长为Δl。如再增加一个dF，杆件相应的变形增量为d(Δl)。于是已经作用于杆件上的F因位移d(Δl)而作功，且所作的功为dd()WFldW等于图b中画阴影线的微面积。2.9.2拉(压)杆内的应变能把拉力看作是一系列dF的积累，则拉力所作的总功W应为上述微面积的总和,它等于F-Δl曲线下面的面积，即10d()lWFl在应力小于比例极限的范围内,F与Δl的关系是一条斜直线，故有12WFl2.9.2拉(压)杆内的应变能2ε122FlVWFlEA省略动能、热能等能量的变化,可认为杆件内只储存了应变能Vε,其数量就等于拉力所作的功。在线弹性范围内2.9.2拉(压)杆内的应变能单位体积内的应变能称为应变能密度。ε12v2.9.3应变能密度对于等直杆，由于在轴向拉伸或压缩时，杆内各部分的受力和变形情况都相同，故可将杆件的应变能除以杆的总体积Al，得到杆在单位体积内的应变能，称为比能，以vε表示，其计算式可表示为由胡克定律＝E，上式可写成22ε1222EvEBPCD45º75º例3简易起重机如图所示。BD杆为无缝钢管,外径90mm,壁厚2.5mm,杆长l=3m。弹性模量E=210GN/m2。BC是两条横截面面积为171.82mm2的钢索,弹性模量E1=177GPa。若不考虑立柱的变形,试求点B的垂直位移。设P=30kN。解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别是12.20m,1.55mBClCD算出BC和BD两杆的横截面面积分别为212222171.82344mm(9085)687mm4AAN1N21.411.93FPFP由BD杆的平衡求得钢索BC的拉力和BD杆的压力为把简易起重机看作是由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系,当载荷P从零开始缓慢地作用于杆系上时,P与点B垂直位移d的关系也与右图一样,是一条斜直线。P所完成的功为12WPdBPCD45º75º22N11N2112296961222(1.41)2.2(1.93)32177103441022101068710FlFlPEAEAPPdP所完成的功在数值上应等于杆系的变形能,亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。故由此求得229696831.412.21.9331771034410210106871014.93104.4810mPPd课堂练习如图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，点B处受载荷F作用，试求点B的位移δB。ADFBaL/2L/2CB1C1C112CCBBBd1CCcosCCcosCDL0AmN1cos2CDFLLFN2cosCDFFNCDCDCDFLLEA2cos2EAaFd3cos4EAFaBNCDF