51变系数二阶线性齐次常微

§5.1变系数二阶线性齐次常微分方程的特殊解法•一.引言•二.线性常微分方程的变换性质•三.常系数化法•四.降阶法一.引言•1.求解二阶线性常微分方程的重要性•2.困难•3.解决问题的途径二.线性常微分方程的变换性质•设最一般的二阶变系数线性齐次常微分方程为（5。1——1）•1.方程（5。1——1）对自变量的任意变换的保线性性•2.方程（5。1——1）对未知函数的线性变换的保线性性()()0ypxyqxy三.常系数化法1.通过自变量的变换使方程的系数化为常数2.通过未知函数的齐次线性变换使方程的系数化为常数例１.将Ｅuler型方程解:将方程化为标准型(５.１—１)2220dydyxaxbydxdx222111222,12,1,ln10abPQxxccQPacQQbbdxbcatxcxdydyabydtdt2取c(a,b为常数)常系数化例.2.将μ阶Ｂessel方程(μ为常数)常系数化.22110yyyxx221,1，pQxx解:根据判别式22222222211241111111244dPQPdxxxxxx211,1,22Bessel則，因此，對于階方程若可以经未知函数的线性变换常系数化,只要在(5.1-12)中取xxexxeyeexexexuxudxudxuxyyxyxyBesseldxeexxdxdsincossincos)(0)()(1.0411121)0(1)(212,1212221ln21211为常数化为常系数方程经变换方程阶取•1.d’Alembert降阶法设已知一个特解（用观察法）y1,用变换y=uy1可以把原方程化为关于u的一阶线性方程。•2.利用算子因式分解降阶四.降阶法END1.求解二阶线性常微分方程的重要性这些方程是物理学与科学技术最常见的，有直接应用；是解高阶线性常微分方程的基础；是解数学物理方程和学习后继课程的基础。2.困难•最一般的二阶变系数线性常微分方程非常难解，至今没有一般的方法。3.解决问题的途径•一阶线性常微分方程总是可解的;降阶法——化二阶为一阶.•二阶常系数线性常微分方程总是可解的;常系数化法——化变系数为常系数.如：著名的Euler方程及其它一些方程。•但是，都没有解决哪些方程可以常系数化，用什么变换，怎么找到这个变换，变换成什么样的常系数方程，以便迅速求解。1.方程（5。1——1）对自变量的任意变换的保线性性'11211())0,,,yptyqyppqq（t(),xt方程（5。1——1）化为2.方程（5。1——1）对未知函数的线性变换的保线性性0)(1)()2(),()()()(''''pqupqupuxxuxxy若β=0，上式化为'2'22'2,2,0pqqppuqupu1.通过自变量的变换使方程的系数化为常数如21112'2111212,,(),2(),0ppcqqccqpcqqqtdxxcycycy則。2.通过未知函数的齐次线性变换使方程的系数化为常数21222,,ppdqqpd1221()212212211,24()(),(),0,,4dpdxqppcyxuxxeudududd