微分方程求解

求解微分方程：简单地说，就是去微分（去掉导数），将方程化成自变量与因变量关系的方程（没有导数）。近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。1.最简单的例子：1.1xdxdy2——————》Cxy21.2求微分方程xydxdy2的通解。解方程是可分离变量的，分离变量后得xdxydy2两端积分：,2xdxydy得：,ln12Cxy从而：2112xCCxeeey。又因为1Ce仍是任意常数，可以记作C2xCey。1.3非齐次线性方程求方程25)1(12'xxyy的通解.解：非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。012xydxdy，12xdxydy，2)1(xCy用常数变易法：把C换成)(xu，即令2)1(xuy（1）则有)1(2)1('2xuxudxdy，代入原方程式中得21)1('xu，两端积分，得Cxu23)1(32。再代入（1）式即得所求方程通解])1(32[)1(232Cxxy。法二：假设待求的微分方程是:)()(xQyxPdxdy我们可以直接应用下式))(()()(CdxexQeydxxPdxxP得到方程的通解，其中，12)(xxP，25)1()(xxQ代入积分同样可得方程通解])1(32[)1(232Cxxy，2.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程)即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。　　得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，]sin)(cos)([)()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx3.工程中的解法：四阶定步长Runge-Kutta算法其中h为计算步长，在实际应用中该步长是一个常数，这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt的值求解出下状态变量Xt+1的值亲们，你们满意吗？