2014年上海高考理科数学试题解析(完美WORD版)

整理人谭峰2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.（2014）函数212cos(2)yx的最小正周期是.【解析】：原式＝cos4x，242T2.（2014）若复数12zi，其中i是虚数单位，则1zzz.【解析】：原式＝211516zzz3.（2014）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x4.（2014）设2,(,),(),[,).xxafxxxa若(2)4f，则a的取值范围为.【解析】：根据题意，2[,)a，∴2a5.（2014）若实数,xy满足1xy，则222xy的最小值为.【解析】：2222222xyxy6.（2014）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【解析】：设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，∵3SS侧底，∴23rRr，即3Rr，∴1cos3，即母线与底面夹角大小为1arccos37.（2014）已知曲线C的极坐标方程为(3cos4sin)1，则C与极轴的交点到极点整理人谭峰的距离是.【解析】：曲线C的直角坐标方程为341xy，与x轴的交点为1(,0)3，到原点距离为138.（2014）设无穷等比数列na的公比为q，若134limnnaaaa，则q.【解析】：223111510112aaqaqqqqq，∵01q，∴512q9.（2014）若2132()fxxx，则满足()0fx的x的取值范围是.【解析】：2132()0fxxx，结合幂函数图像，如下图，可得x的取值范围是(0,1)10.（2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.【解析】：3108115PC11.（2014）已知互异的复数,ab满足0ab，集合22,,abab，则ab.【解析】：第一种情况：22,aabb，∵0ab，∴1ab，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,abba，∴431aaa，∴210aa，即1ab；12.（2014）设常数a使方程sin3cosxxa在闭区间[0,2]上恰有三个解123,,xxx，则123xxx.【解析】：化简得2sin()3xa，根据下图，当且仅当3a时，恰有三个交点，即12370233xxx整理人谭峰P2P5P6P7P8P4P3P1BA13.（2014）某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分.若()4.2E，则小白得5分的概率至少为.【解析】：设得i分的概率为ip，∴1234523454.2ppppp，且123451ppppp，∴12345444444ppppp，与前式相减得：1235320.2pppp，∵0ip，∴1235532ppppp，即50.2p14.（2014）已知曲线2:4Cxy，直线:6lx.若对于点(,0)Am，存在C上的点P和l上的Q使得0APAQ，则m的取值范围为.【解析】：根据题意，A是PQ中点，即622PQPxxxm，∵20Px，∴[2,3]m二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.（2014）设,abR，则“4ab”是“2a且2b”的（）(A)充分条件.(B)必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分又非必要条件.【解析】：B16.（2014）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,8)iPi是上底面上其余的八个点，则(1,2,,8)iABAPi的不同值的个数为（）(A)1.(B)2.(C)4.(D)8.整理人谭峰【解析】：根据向量数量积的几何意义，iABAP等于AB乘以iAP在AB方向上的投影，而iAP在AB方向上的投影是定值，AB也是定值，∴iABAP为定值1，∴选A17.（2014）已知111(,)Pab与222(,)Pab是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组11221,1axbyaxby的解的情况是（）(A)无论12,,kPP如何，总是无解.(B)无论12,,kPP如何，总有唯一解.(C)存在12,,kPP，使之恰有两解.(D)存在12,,kPP，使之有无穷多解.【解析】：由已知条件111bka，221bka，11122122abDababab122112(1)(1)0akaakaaa，∴有唯一解，选B18.（2014）设2(),0,()1,0.xaxfxxaxx若(0)f是()fx的最小值，则a的取值范围为（）(A)[1,2].(B)[1,0].(C)[1,2].(D)[0,2].【解析】：先分析0x的情况，是一个对称轴为xa的二次函数，当0a时，min()()(0)fxfaf，不符合题意，排除AB选项；当0a时，根据图像min()(0)fxf，即0a符合题意，排除C选项；∴选D；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（2014）(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥-PABC，其表面展开图是三角形123PPP，如图.求123PPP△的各边长及此三棱锥的体积V.【解析】：根据题意可得12,,PBP共线，∵112ABPBAPCBP，60ABC，∴11260ABPBAPCBP，∴160P，同理2360PP，∴△123PPP是等边三角形，PABC是正四面体，所以△123PPP边长为4；BACP3P1P2整理人谭峰ACBD∴3222123VAB20.（2014）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a，函数2()2xxafxa.(1)若4a，求函数()yfx的反函数1()yfx；(2)根据a的不同取值，讨论函数()yfx的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）∵4a，∴24()24xxfxy，∴4421xyy，∴244log1yxy，∴1244()log1xyfxx，(,1)(1,)x（2）若()fx为偶函数，则()()fxfx，∴2222xxxxaaaa，整理得(22)0xxa，∴0a，此时为偶函数若()fx为奇函数，则()()fxfx，∴2222xxxxaaaa，整理得210a，∵0a，∴1a，此时为奇函数当(0,1)(1,)a时，此时()fx既非奇函数也非偶函数21.（2014）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米.设点AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.(1)设计中CD是铅垂方向.若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12，18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）.【解析】：（1）设CD的长为x米，则tan,tan3580xx，∵202，整理人谭峰∴tantan2，∴22tantan1tan，∴2221608035640016400xxxxx，解得020228.28x，∴CD的长至多为28.28米（2）设,,DBaDAbDCm，180123.43ADB，则sinsinaABADB，解得115sin38.1285.06sin123.43a，∴2280160cos18.4526.93maa，∴CD的长为26.93米22.（2014）(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy中，对于直线:0laxbyc和点111222(,),(,)PxyPxy，记1122()()axbycaxbyc.若0，则称点12,PP被直线l分割.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点12,PP被直线l分割，则称直线l为曲线C的一条分割线.(1)求证：点(1,2),(1,0)AB被直线10xy分割；(2)若直线ykx是曲线2241xy的分割线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点(0,2)Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E.求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.【解析】：（1）将(1,2),(1,0)AB分别代入1xy，得(121)(11)40∴点(1,2),(1,0)AB被直线10xy分割（2）联立2241xyykx，得22(14)1kx，依题意，方程无解，∴2140k，∴12k或12k（3）设(,)Mxy，则22(2)1xyx，∴曲线E的方程为222[(2)]1xyx①当斜率不存在时，直线0x，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)PP为E上两点，且代入0x，有10，∴0x是一条分割线；当斜率存在时，设直线为ykx，代入方程得：2432(1)4410kxkxx，整理人谭峰令2432()(1)441fxkxkxx，则(0)1f，22(1)143(2)fkkk，22(1)143(2)fkkk，当2k时，(1)0f，∴(0)(1)0ff，即()0fx在(0,1)之间存在实根，∴ykx与曲线E有公共点当2k时，(0)(1)0ff，即()0fx在(1,0)之间存在实根，∴ykx与曲线E有公共点∴直线ykx与曲线E始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x是E的分割线23.（2014）(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知数列na满足1133nnnaaa，*nN，11a.(1)若2342,,9aaxa，求x的取值范围；(2)设na是公比为q的等比数列，12nnSaaa.若1133nnnSSS，*nN，求q的取值范围；(3)若12,,,kaaa成等差数列，且121000kaaa，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列12,,,kaaa的公差.【解析】：（1）依题意，232133aaa，∴263x，又343133aaa，∴327x，综上可得36x；（2）由已知得1nnaq，又121133aaa，