江苏省苏北三市2019届高三数学上学期期末考试试题(含答案)

1江苏省苏北三市2019届高三上学期期末考试数学试题(满分160分，考试时间120分钟)2019.1参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|0x≤2}，则A∩B＝Ｗ.2.已知复数z＝(2－i)2(i是虚数单位)，则z的模为Ｗ.3.已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为Ｗ.4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为Ｗ.I←1WhileI8I←I＋2S←2I＋3EndWhilePrintS(第4题)5.若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“ab是整数”的概率为Ｗ.6.若抛物线y2＝2px(p0)的焦点与双曲线x2－y23＝1的右焦点重合，则实数p的值为Ｗ.7.在等差数列{an}中，若a5＝12，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为Ｗ.8.已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为Ｗ.9.已知a，b∈R，函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2－x)0的解集为Ｗ.10.已知a0，b0，且a＋3b＝1b－1a，则b的最大值为Ｗ.11.将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为Ｗ.12.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足CP→＝32PB→＋2PA→，则CP→·AB→的值为Ｗ.13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以2C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x21－x22＝y22－y21，则实数m的值为Ｗ.14.已知x0，y0，z0，且x＋3y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC中，sinA＝23，A∈(π2，π).(1)求sin2A的值；(2)若sinB＝13，求cosC的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.(1)求证：EF∥平面A1BD；(2)若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.317.(本小题满分14分)如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC＝π6，AB＝2km.(1)若绿化区域△ABC的面积为1km2，求道路BC的长度；(2)若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC＝θ(0θ≤2π3)，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？418.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.519.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－a)lnx(a∈R).(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程；(2)若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；(3)若函数f(x)存在两个极值点，求实数a的取值范围.620.(本小题满分16分)已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an(qnan－1)＋2qnanan＋1＝an＋1(1－qnan＋1)，且an＋1＋an≠0，其中a1＝2，q≠0.记Tn＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋qn－1an.(1)若q＝1，求T2019的值；(2)设数列{bn}满足bn＝(1＋q)Tn－qnan.①求数列{bn}的通项公式；②若数列{cn}满足c1＝1，且当n≥2时，cn＝2bn－1－1，是否存在正整数k，t，使c1，ck－c1，ct－ck成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，请说明理由.72019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.(选修42：矩阵与变换)已知矩阵A＝0123，B＝2018，求A－1B.B.(选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2cosθ.以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy，设过点A(3，0)的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率.C.(选修45：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x－1)＋f(x＋3)≥6；(2)若|a|1，|b|1，且a≠0，求证：f(ab)|a|f(ba).8【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在三棱锥DABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点.(1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2)求二面角ACEB的余弦值.23.已知数列{an}满足a1＝13，an＋1＝－2a2n＋2an，n∈N*.(1)用数学归纳法证明：an∈(0，12)；(2)令bn＝12－an，求证：92019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学参考答案及评分标准1.{1，2}2.53.24.215.136.47.1528.839.(0，4)10.1311.3π212.－113.－614.37415.解：(1)由sinA＝23，A∈(π2，π)，则cosA＝－1－sin2A＝－1－（23）2＝－53，(2分)所以sin2A＝2sinAcosA＝2×23×(－53)＝－459.(6分)(2)由A∈(π2，π)，则B为锐角.又sinB＝13，所以cosB＝1－sin2B＝1－（13）2＝223，(8分)所以cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)(12分)＝－(－53×223－23×13)＝210＋29.(14分)16.证明：(1)因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.(3分)因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1.因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.(8分)因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.(10分)因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.(12分)因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.(14分)17.解：(1)在△ABC中，已知∠BAC＝π6，AB＝2km，所以△ABC的面积S＝12×AB×AC×sinπ6＝1，解得AC＝2.(2分)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cosπ6＝22＋22－2×2×2×cosπ6＝8－43，(4分)所以BC＝8－43＝6－2(km).(5分)(2)由∠ABC＝θ，则∠ACB＝π－(θ＋π6)，0θ≤2π3.10在△ABC中，∠BAC＝π6，AB＝2km，由正弦定理得ACsinB＝BCsinA＝ABsinC，所以BC＝1sin（θ＋π6），AC＝2sinθsin（θ＋π6）.(7分)记该计划所需费用为F(θ)，则F(θ)＝12×2sinθsin（θ＋π6）×2×12×10＋1sin（θ＋π6）×10＝10（sinθ＋1）sin（θ＋π6）(0θ≤2π3).(10分)令f(θ)＝sinθ＋132sinθ＋12cosθ，则f′(θ)＝sin（θ－π3）＋12（32sinθ＋12cosθ）2.(11分)由f′(θ)＝0，得θ＝π6.所以当θ∈(0，π6)时，f′(θ)0，f(θ)单调递减；当θ∈(π6，2π3)时，f′(θ)0，f(θ)单调递增.(12分)所以当θ＝π6时，该计划所需费用最小.答：当θ＝π6时，该计划所需总费用最小.(14分)18.解：(1)设椭圆的右焦点为(c，0)，由题意，得ca＝22，a2c－c＝1，解得a＝2，c＝1，所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(4分)(2)由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意.设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－m).又准线方程为x＝2，所以点P的坐标为P(2，k(2－m)).(6分)由y＝k（x－m），x2＋2y2＝2，得x2＋2k2(x－m)2＝2，即(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，所以xD＝12·4k2m2k2＋1＝2k2m2k2＋1，yD＝k(2k2m2k2＋1－m)＝－km2k2＋1，(8分)所以kOD＝－12k，从而直线OD的方程为y＝－12kx，11所以点Q的坐标为Q(2，－1k)，(10分)所以以PQ为直径的圆的方程为(x－2)2＋[y－k(2－m)](y＋1k)＝0，即x2－4x＋2＋m＋y2－[k(2－m)－1k]y＝0.(14分)因为该式对∀k≠0恒成立，所以y＝0，x2－4x＋2＋m＋y2＝0，解得x＝2±2－m，y＝0.所以以PQ为直径的圆经过定点(2±2－m，0).(16分)19.解：(1)因为f(x)＝(x－a)lnx(a∈R)，所以当a＝1时，f(x)＝(x－1)lnx，则f′(x)＝lnx＋1－1x.(1分)当x＝1时，f(1)＝0，f′(1)＝0，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程为y＝0.(3分)(2)因为对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，所以当lnx＝0，即x＝1时，f(x)＝0，a∈R；(5分)当lnx0，即x1时，x≥a恒成立，所以a≤1；(6分)当lnx0，即x1时，x≤a恒成立，所以a≥1.综上可知，对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，a＝1.(7分)(3)因为函数f(x)存在两个极值点，所以f′(x)＝lnx－ax＋1存在两个不相等的零点.设g(x)＝lnx－ax＋1，则g′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2.(8分)当a≥0时，g′(x)0，所以g(x)单调递增，至多一个零点.(9分)当a0时，x∈(0，－a)时，g′(x)0，g(x)单调递减，x∈(－a，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增，所以x＝－a时，g(x)min＝g(－a)＝ln(－a)＋2.(11分)因为g(x)存在两个不相等的零点，所以ln(－a)＋20，解得－e－2a0.因为－e－2a0，所以－1ae2－a.因为g(－1a)＝ln(－1a)＋a2＋10，所以g(x)在(－a，＋∞)上存在一个零点.(13分)因为－e－2a0，所以a2－a.又g(a2)＝lna2－1a＋1＝2ln(－a)＋1－a＋1，设t＝－a，则y＝2lnt＋1t＋1(0t1e2).因为y′＝2t－1t20，所以y＝2lnt＋1t＋1(0t1e2)单调递减.又函数图象是连续的，所以y2ln1e2＋e2＋1＝e2－30，所以g(a2)＝lna2－1a＋10，所以在(0，－a)上存在一个零点.12综上可知，－e－2a0.(16分)20.解：(1)当q＝1时，由an(qnan－1)＋2qnanan＋1＝an＋1(1－qnan＋1)，得(an＋1＋