高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段例2.已知ABC的周长是16，)0,3(A，B)0,3(,则动点的轨迹方程是()(A)1162522yx(B))0(1162522yyx(C)1251622yx(D))0(1251622yyx例3.若F(c，0)是椭圆22221xyab的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于2Mm的点的坐标是()(A)(c，2ba)2()(,)bBca(C)(0，±b)(D)不存在例4.设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆22xa+22yb=1(ab0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为()(A)32(B)63(C)22(D)23例5P点在椭圆1204522yx上，F1、F2是两个焦点，若21PFPF，则P点的坐标是.例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;.(2)焦点坐标为)0,3(,)0,3(,并且经过点(2，1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(,)0,3(,且短轴是长轴的31;____.(4)离心率为23，经过点(2，0);.例712FF、是椭圆2214xy的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则12||||PFPF的最大值是．第二部分：双曲线1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)典型例题例8.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a0)；命题乙：点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的()(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)不充分也不必要条件例9.过点(2，-2)且与双曲线1222yx有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)12422yx(B)12422xy(C)14222yx(D)14222xy例10.双曲线221(1)xynn的两焦点为12,,FFP在双曲线上,且满足1222PFPFn,则12FPF的面积为()()1A1()2B()2C()4D例11.设ABC的顶点)0,4(A，)0,4(B，且CBAsin21sinsin，则第三个顶点C的轨迹方程是________.例12.连结双曲线12222byax与12222axby(a＞0，b＞0)的四个顶点的四边形面积为1S，连结四个焦点的四边形的面积为2S，则21SS的最大值是________．例13.根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(-3，32)；⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32，2).例14设双曲线2212yx上两点A、B，AB中点M（1，2）⑴求直线AB方程；⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？第三部分：抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下典型例题例15.顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例16.抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()(A)1716(B)1516(C)78(D)0例17.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条例18.过抛物线2yax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则11pq等于()(A)2a(B)12a(C)4a(D)4a例19.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(21，1)(D)(0，0)例20.动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是.例21.过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.例22.以抛物线xy23的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.例23.过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的倾斜角的范围是.例题答案例1.D例2.B例3.C.例5.B.例7.(3,4)或(-3,4)例8.(1)1162522yx或1251622yx;(2)13622yx;(3)1922yx或181922yx;(4)1422yx或116422yx.例9.12||||PFPF≤2212||||()42PFPFa例11.B例13.D例16.A例17.)2(112422xyx例18.12例19.⑴221944xy;⑵221128xy例20.⑴直线AB：y=x+1⑵设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由22112yxyx得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由22312yxyx得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）则340003,362xxxyx∴M（-3，6）∴|MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，102为半径的圆上例21.B(22,4282ppxpyy即)例22.B例23.B(过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求。)例24.C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，则p=q=|FK|1||2FKa而,112241()2apqpa例25.解析：运用抛物线的准线性质.答案：B例26.x2=8y例27.－p2例28.223()94xy例29.66[0,arctan][arctan,)22