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高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分:椭圆1.椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若ac,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若ac,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=ca∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2典型例题例1.F1,F2是定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段例2.已知ABC的周长是16,)0,3(A,B)0,3(,则动点的轨迹方程是()(A)1162522yx(B))0(1162522yyx(C)1251622yx(D))0(1251622yyx例3.若F(c,0)是椭圆22221xyab的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于2Mm的点的坐标是()(A)(c,2ba)2()(,)bBca(C)(0,±b)(D)不存在例4.设F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆22xa+22yb=1(ab0)的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为()(A)32(B)63(C)22(D)23例5P点在椭圆1204522yx上,F1、F2是两个焦点,若21PFPF,则P点的坐标是.例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6;.(2)焦点坐标为)0,3(,)0,3(,并且经过点(2,1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(,)0,3(,且短轴是长轴的31;____.(4)离心率为23,经过点(2,0);.例712FF、是椭圆2214xy的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则12||||PFPF的最大值是.第二部分:双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|=2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c),则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a0,c0:(1)当ac时,P点的轨迹是双曲线;(2)当a=c时,P点的轨迹是两条射线;(3)当ac时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±baxy=±abx离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)典型例题例8.命题甲:动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a0);命题乙:点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的()(A)充要条件(B)必要不充分条件(C)充分不必要条件(D)不充分也不必要条件例9.过点(2,-2)且与双曲线1222yx有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)12422yx(B)12422xy(C)14222yx(D)14222xy例10.双曲线221(1)xynn的两焦点为12,,FFP在双曲线上,且满足1222PFPFn,则12FPF的面积为()()1A1()2B()2C()4D例11.设ABC的顶点)0,4(A,)0,4(B,且CBAsin21sinsin,则第三个顶点C的轨迹方程是________.例12.连结双曲线12222byax与12222axby(a>0,b>0)的四个顶点的四边形面积为1S,连结四个焦点的四边形的面积为2S,则21SS的最大值是________.例13.根据下列条件,求双曲线方程:⑴与双曲线221916xy有共同渐近线,且过点(-3,32);⑵与双曲线221164xy有公共焦点,且过点(32,2).例14设双曲线2212yx上两点A、B,AB中点M(1,2)⑴求直线AB方程;⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D是否共圆,为什么?第三部分:抛物线1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=1准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下典型例题例15.顶点在原点,焦点是(0,2)的抛物线方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例16.抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()(A)1716(B)1516(C)78(D)0例17.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条例18.过抛物线2yax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q,则11pq等于()(A)2a(B)12a(C)4a(D)4a例19.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小值,P点的坐标为()(A)(3,3)(B)(2,2)(C)(21,1)(D)(0,0)例20.动圆M过点F(0,2)且与直线y=-2相切,则圆心M的轨迹方程是.例21.过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵坐标为y1、y2,则y1y2=_________.例22.以抛物线xy23的焦点为圆心,通径长为半径的圆的方程是_____________.例23.过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点,则直线l的倾斜角的范围是.例题答案例1.D例2.B例3.C.例5.B.例7.(3,4)或(-3,4)例8.(1)1162522yx或1251622yx;(2)13622yx;(3)1922yx或181922yx;(4)1422yx或116422yx.例9.12||||PFPF≤2212||||()42PFPFa例11.B例13.D例16.A例17.)2(112422xyx例18.12例19.⑴221944xy;⑵221128xy例20.⑴直线AB:y=x+1⑵设A、B、C、D共圆于⊙OM,因AB为弦,故M在AB垂直平分线即CD上;又CD为弦,故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由22112yxyx得:A(-1,0),B(3,4)又CD方程:y=-x+3由22312yxyx得:x2+6x-11=0设C(x3,y3),D(x4,y4),CD中点M(x0,y0)则340003,362xxxyx∴M(-3,6)∴|MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中点,M(-3,6)为圆心,102为半径的圆上例21.B(22,4282ppxpyy即)例22.B例23.B(过P可作抛物线的切线两条,还有一条与x轴平行的直线也满足要求。)例24.C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q,则p=q=|FK|1||2FKa而,112241()2apqpa例25.解析:运用抛物线的准线性质.答案:B例26.x2=8y例27.-p2例28.223()94xy例29.66[0,arctan][arctan,)22
本文标题:高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题
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