第七讲 功率谱密度

由此易得：22)0()(21limXXTTTRdttXTE过程的强度。它实际上刻画的是随机，功率等于过程的均方值从而有平稳过程的平均为平稳过程的平均功率称TTTdttXTE)(21lim21平均功率与功率谱密度的定义四平稳随机过程的功率谱密度定义8为平稳过程的功率谱密度，简称自谱密度或者谱密度。{}XtiXXSRed称谱密度是从频率这个角度描述的统计规律的主要数字特征,它是的平均功率关于频率的分布.具体看下面的性质。XStXtX2功率谱密度的性质从前面的讨论我们可以看到，相关函数是从时间角度描述过程统计规律的最主要数字特征，而功率谱密度则是从频率角度描述过程统计规律的数字特征，二者描述的对象是一个，所以它们必定存在某种关系。下面通过对的性质的研究得到：相关函数与功率谱密度构成一个傅氏变换对。XS性质1和自相关函数是一傅氏变换对。即XSXR12iXXiXXSRedRSed称为维纳-辛钦公式。002cos1cosXXXXSRdRSd公式为：为实平稳过程时，上述特别，当tX维纳-辛钦公式又称为平稳过程的相关函数的谱表示式或谱分解式.它表达了从时间角度（即用相关函数)和从频率角度（即用谱密度）分别描述平稳过程的统计规律性之间的联系。有很大的理论和实用价值。在具体应用上我们可以根据实际情况选择时间域或等价的频率域方法去解决问题。{}XtXS)(XR性质2是的实的、非负偶函数。XS21lim,2XXTSEFTT(,)TitXTFTXtedt其中实际上性质3平稳过程的平均功率可由谱密度的积分表出：1()2XSd221lim()(0)2TXXTTEXtdtRT平均功率即：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，或等于它的谱密度在频域上的积分。所以，在内的平均功率为:21,21212dSXX{()}Xt在工程中，由于只在正的频率范围内进行测量，根据平稳过程的功率谱密度的偶函数性质，可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内，得到所谓“单边功率谱”。单边功率谱定义为：)(XG0,00,)(2)(XXSG)(XG)(XS0相应地可称为“双边功率谱”它们的图形关系如图所示。)(XS22222022222nnnXmmmaaSSbb式中。上式要求有理函数的分子、分母只出现偶次项的原因是因为偶函数，又由于要求平均功率有限，所以必须满足，且分母应该无实根。00S)(XSnm性质4有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密度。其形式必为：若干相关函数及其对应的谱密度见书P255表11.1(尤其是第一、五、七组）例1已知平稳过程的相关函数为：)0,0(cos2202baebaRaXXS求功率谱密度9104242XS例2已知平稳过程具有如下功率谱密度：{}Xt求平稳过程相关函数及平均功率。niiiiXaS1)]()([)(从本例的求解过程可得niiiXaR1)cos()(的谱密度:五白噪声在电路系统分析、自动控制和测量中经常遇到一类随机干扰—“白噪声”,因为在电路系统中，由于分子的热运动，使电路各处的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电流的变化反映为声波的变化时，就是人们不爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就是随机过程。当外界条件基本不变时，又可认为这种噪声的主要统计特性不随时间的推移而改变，所以它又是平稳过程;从功率角度看，这种噪声对不同频率的输入都能进行干扰，所以它的谱在各个频率分量上都广泛地存在。一种常用的抽象是把这类噪声假定为在各个频率分量都有同样的功率。类似白光的能谱在各种频率上是均匀分布，我们把这类噪声称为“白噪声”。所以白噪声是功率谱密度为常数的零均值平稳过程。即：)(0SRX其相关函数为：定义一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为正常数：00SSX的平稳过程，称为白噪声过程，简称白噪声。{()}Xt例5设为常数，A、B为相互独立的随机变量，且tBtAtX00sincos)()(t0,),0(~,),0(~22NBNA（1）证明是平稳过程；{()}Xt（2）证明具有均值各态历经性；（4）求的谱密度。（3）求的平均功率；{()}Xt{()}Xt{()}Xt解：(1)0sin)(cos)()]([00tBEtAEtXE为常数；]sincos{[),(00tBtAEttRX)]}(sin)(cos[00tBtA02cos仅与有关。故是平稳过程。{()}Xt所以此平稳过程具有均值各态历经性；（2）TTdTT2002)cos()21(1lim022cos1lim2002TTTT平均功率（3）22)0(XXR)]()([002由表12.1之7知：dei02cos（4）deRSiXX)()()]()([002今天作业p87：1，2P89：1-9；