图形与几何讲座(阎海玲)

忠县白公路小学校阎海玲——教学探究图形与几何图形与几何包括图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置四部分内容。其中图形的认识是这些内容的学习基础，这部分内容既是构建空间观念的认知起点，它的学习质量又直接影响到后面内容的学习，在整个图形与几何的学习中具有十分重要的作用。测量通过对图形的直接度量到推导周长、面积和体积计算公式，加深学生对图形特征的理解，同时在测量中学生可以把所学知识直接应用于解决生活中的问题，突出几何知识的应用价值。图形的运动和图形与位置都是课程标准增加的内容，把这些内容增加到小学数学教材中，突破了小学数学几何教学内容局限于图形的认识与计算的现象，使小学数学学习内容更加丰富，从中还贯穿了不只是从静止研究几何图形，还可以让图形“动”起来，在图形的变化过程中研究图形与图形间的联系。由于学生年龄小，所以在图形的运动和图形与位置安排的都是一些浅显的、基础的知识，让学生掌握一些基本的图形运动方法和判断图形位置的基本方法，为学生在初中进一步学习几何奠定基础。图形的认识图形的认识分为平面图形的认识和立体图形的认识两个板块，这部分内容是学生学习几何的基础知识，是图形与几何的认知起点。图形的认识认识物体认识图形角的认识认识图形（长方形、正方形、组合图形）轴对称图形角平行与相交三角形平行四边形和梯形长方体和正方体圆圆柱和圆锥体积和容积单位图形的认识编写特点特点1：图形的认识分初步感知和深入认识两段编排为什么分两段？（抽象）两段要求不同。认知要求：建立表像、初步辨认/深入理解、掌握特征认知平台：生活经验/数学基础知识认知方式：操作演示/应用掌握的知识来学习新知识特点2：从有限长度和无限长度两个方面展开对线的研究无限与“有限”相对，组成辩证法的一对范畴。指无条件的、在空间和时间上都没有限制的、无始无终的东西。无限只能通过有限而存在，但它不能归结为有限的简单的量的总和，而有限中则包含着无限。教科书以有限长度的认知为基础，引导学生认识无限长度。判断：角的大小与边的长短无关。特点3：关注图形分类，强化图形之间的联系与区别，突出图形特征分类是指按照种类、等级或性质分别归类。图形分类主要是按照图形的种类或性质归类，在归类的过程中，学生对图形的种类或性质归类有所了解，有利于学生掌握图形的特征。图形的认识教学建议1、从学生感兴趣的生活事例入手，引导学生认识图形。（案例）小朋友们遇上高兴的事，你会用什么方式表达你高兴的心情呢？2、用观察、操作和分析相结合的方式，帮助学生认识图形。数一数它们的边和角…比一比，量一量…折一折…3、注重图形之间的联系，帮助学生形成整体认知结构。（案例2）4、注意帮助学生建立正确的图形表像。（案例）案例1：长方形有两个面吗？案例2：平面图形能摸出来吗？案例3：5、既关注学生静态地认识图形，也要从动态的角度认识图形。测量测量是按照某种规律，用数据来描述观察到的现象，即对事物作出量化描述。测量是对非量化实物的量化过程,其意义在于通过量化物体的属性,将数的抽象世界与客观物体的具体现实联系起来。同时,测量是促进数学思想发展的重要活动,涉及比较、排序、量化物体等非常有价值的学习内容。小学数学的测量内容包括度量单位、周长、面积和体积的计算四部分。测量测量长度（用厘米和米作单位）千米毫米周长（长方形、正方形的周长）长方形、正方形的面积面积单位多边形面积计算公顷和平方千米体积和容积单位长方体、正方形的表面积和体积圆的周长和面积圆柱和圆锥的体积测量编写特点特点1：按线、面、体的顺序安排学习内容这样安排是由知识的逻辑顺序所决定的，在几何里，线、面、体分别表示一维、二维和三维空间。“维”这里表示方向。由一个方向确立的空间模式是一维空间，一维空间呈现直线性，只被长的一个方向确立。由两个方向确立的空间模式是二维空间，二维空间呈面性，被长、宽两个方向确立。同理，三维空间呈体性，被长、宽、高三个方向确立。被确立的方向越多，研究起来越复杂，所以在这三部分内容中，作为一维空间的线是最简单的，也是研究面和体的认知起点，周长就是对线的研究，在此基础上，再从一维转入二维、进一步转入三维的研究，这样不但能较好地体现知识的内容联系和逻辑顺序，同时也体现了由简到繁、由易到难的编排原则。特点2．让学生体验统一度量单位的必要性如：长度单位（1厘米）规定没创造空间面积单位教学的两点思考。3．先认识能直观感知的单位，再用类推和想象相结合的方式认识更大的单位先一些能直观感知的单位。例如在认识面积单位时，先认识平方厘米、平方分米和平方米。这是因为这些度量单位都是学生能观察到的，能通过课堂上的直观演示在学生头脑中形成清晰的表象；在此基础上，再用这些表象作为认知基础，让学生通过“边长100米的正方形的面积是1公顷”，类推出1公顷=10000平方米，并借助1平方米的表象想象10000平方米有多大，1平方千米的编排也大致如此。所以教科书先认识能直观感知的单位，再用类推和想象相结合的方式认识更大的单位是符合学生的认知特点的，易于学生理解和接受。特点4．从直接测量和间接测量两个方面安排测量活动直接测量是指直接从测量仪表的读数获取被测量量值的方法。间接测量是通过测量与被测量有函数关系的其他量,才能得到被测量值的测量方法。5．让学生充分经历公式的推导过程一是让学生在操作活动中去经历公式的形成过程。二是在推导过程中不局限于某一种推导方法，教科书一般都呈现两种或两种以上的推导方法（如图所示），鼓励学生根据自己的想法来推导公式。三是教科书不急于进行公式的归纳，而是呈现完整的推导过程，一方面指导学生的思维方向，二是让学生在推导过程中理解并掌握公式，提高学生对知识的掌握水平。6．重视认知策略的广泛适用性，有效地利用学生已经掌握的认知策略来推导新的计算公式例如在推导三角形面积计算公式前，教科书先通过对话框问学生“前面是怎样探讨平行四边形面积计算方法的？”引导学生说出推导平行四边形面积计算公式的方法是先把平行四边形转化成长方形，然后再用平行四边形与转化后的长方形的联系以及长方形面积计算公式去推导平行四边形面积计算公式。使学生意识到这种转化的策略不但在平行四边形面积计算公式的推导过程中有用，而且能作用于推导三角形面积计算公式。在此基础上，教科书要求学生把这种转化策略应用于三角形面积计算测量教学建议1、从测量需要出发，帮助学生认识统一长度单位、面积单位和体积单位的重要性。2、采用观察与操作相结合的方式，帮助学生建立长度单位、面积单位和体积单位的实际观念3、重视一个单位的教学，用它来带动其它单位的教学。4、用数学实验与分析归纳相结合的方式，突出学生在探究图形体积（面积、周长）计算公式时的主体作用。5、重视“置换”在解题中的重要作用，帮助学生灵活应用所学知识解决生活中的实际问题，强化学生的价值体验。怎样计算土豆的体积？阿基米德测皇冠曹冲称象6、沟通知识的相互联系，帮助学生形成整体认知结构。（30+0）×20÷2=30×20÷2（30+30）×20÷2=30×2×20÷2=30×20图形的运动在辞典里运动一词有多方面的解释，这里的图形的运动，具体指图形的移动和转动，它包含图形的平移、图形的旋转和图形的对称。图形的运动平移与旋转现象轴对称现象图形的平移、旋转与对称图形的运动图形的运动编写特点1．从运动现象和图形的运动两部分安排两个角度来解读：一个从生活角度来解读；一个是从数学内容来解读。区别：一是取材不一样。二是要求不一样。运动现象只限于感知，而图形的运动需要理解和应用；三是安排的学段不同。四是学习方式不一样，运动现象主要采用观察与操作获得运动表象，而图形的运动要采用操作、分析、归纳和应用的方式掌握图形运动的本质属性。2．运动现象主要呈现一些生活情景，通过学生对这些情景的观察、重现、模仿，让学生体会平移、旋转与对称3．图形的运动中重点应用了方格纸，要求学生在方格纸上研究图形的运动。因为在图形的运动中有一个东西是最重要的——参照系。运动的表现形式为位置或距离的变化，什么叫做变化？没有参照系不容易发现，有了参照系以后就好描述了，相对于参照系来说，这个图形的位置改变了，也就是，它的前后两个位置的方向、距离不同。在本质上讲，平面上的图形最起码是二维以上的才能旋转，所以，参照系一般至少是二维的。如果在二维看，必须是坐标系，最好是直角坐标系，才能看得更清楚。方格纸虽然还不是一个完整的直角坐标系，但是它具备了直角坐标系的本质特征，所以，在方格纸上进行图形的旋转、平移就是把一种复杂的变换变成一种简单的变换了。当然，正因为方格纸具备了直角坐标系最本质的特征，所以在这里也渗透了直角坐标系的一些知识，这些知识的渗透，有利于学生的进一步学习和发展。4．让学生经历理解图形的运动的全过程例如在图形的旋转中，教科书通过拨指针的方式让学生理解“顺时针旋转”和“逆时针旋转”，再通过叶片的旋转来理解旋转过程要关注“点”、“方向”、“位置”和“角度”，并逐步要求学生用数学语言来描述这一过程。教科书全面地反映了学生对旋转现象的理解过程5．回避严格的定义，用大量的操作活动帮助学生理解和认识图形的运动，帮助学生逐步形成空间观念。“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”.1、充分应用学生的生活经验，帮助学生理解图形的运动。图形的运动教学建议2、利用多媒体课件或教具演示方式使“静”图“动”化，帮助学生更好地理解图形的运动。录像：图形的放大或缩小3、关注生活中的图形运动现象转化为数学现象的过程。4、关注图形运动的关键所在，帮助学生准确地掌握图形运动的相关知识。长方形平移了多少格？图形旋转了多少度？5、把图形的运动与图形的测量结合起来教学，让学生体会图形的运动的应用价值。图形与位置图形与位置和图形的运动这两部分知识联系得非常紧密，图形运动的变化就表现为位置的变化。位置指物体某一时刻在空间的所在处，数学重点研究怎样准确地描述物体某一时刻在空间的所在处。图形与位置位置（上下前后左右）东南西北（含东南、西南、东北、西北）确定位置图形与位置编写特点1．体现了学习图形与位置的两条线索其中的一条线索分别表现为：用第几组第几排描述位置——用数对确定位置；另一条线索表现为：认识方向——用方向和距离确定位置——描述或绘制简单的线路图。这两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，它们都是平面上确定位置的方法。2．体现从生活的角度描述位置到用数学语言描述位置的探索过程3．层层深入展开研究先研究日常生活中常用的方向，再研究地球学上所讲的方向，再把方向的研究与位置确定结合起来的方式，层层深入展开研究。4．重视小学数学建构的知识与隐性的后期效应的关系从数学的角度思考，上下、前后、左右这三组位置关系所确定的方向，与构成立体空间的三个维度（即空间直角坐标系中的x轴、y轴、z轴）恰好对应。反过来，也可以认为空间直角坐标系就是上下、前后、左右的数学抽象。同样，从第一学段用两个“第几”来描述一个物体的位置，再到第三学段建立平面直角坐标系，正好构成一个较为完整的、螺旋上升的数学抽象过程。因此，在小学让学生掌握这些方位词的含义和相对性，对于他们初步感受抽象的立体空间，对于中学阶段学习平面的、空间的直角坐标系，有着隐性的后期效应。1、把学生的学习活动建立在学生原有经验之上，有效地利用学生原有经验推动新知识的学习。地图上一般是按上北、下南、左西、右东绘制的。我写字时是用右手拿铅笔，左手压着本子。图形与位置教学建议2、突出新方位学习的认知需求，让学生理解新的方位学习价值。我们已经会用上下前后左右表示方向了，为什么还要学东南西北呢？“上下、前后、左右”和“东、南、西、北”都是表明方向的词，而且上下、前后、左右的正确使用，有助于发展学生的空间知觉和方向意识，为辨认东、南、西、北等方向和正确使用新学的方位词提供学习基础。但是要注意的是，上下、前后、左右这些方位词与东、南、西、北等方位词属于两套方向系统，前者与构成立体空间的三个维度相对应，后者