考研数学一常考题型及重点汇总

仅供个人参考不得用于商业用途第二篇高等数学第一章函数、极限、连续思考的鱼点拨“函数、极限、连续”这一部分的概念及运算是高等数学的基础，它们是每年必考的内容之一，数学一中本部分分数平均每年约占高等数学部分的10％.本章的考题类型及知识点大致有：1.求函数的表达式：(1)给出函数在某一区间上的表达式及某些条件，求该函数在另一区间上的表达式(数学(二)考过)；(2)求分段复合函数的表达式(1990一(3)题考过，数学(二)考过多次).2.数列的极限的概念理解与运算定理：(1)数列极限的概念的理解及定义的等价叙述(数学(二)考过)；(2)运算定理的正确运用与性质的正确理解(2003二(2)题)；(3)求数列的极限：①化成积分和式求极限(1998七题)；②夹逼定理求极限(1998七题，2005二(7)题)；③单调有界定理求极限或讨论极限的存在性(2006三(16)题，2008一(4)题)；④化成函数极限求极限(2006三(16)题).3.函数的极限：(1)求七种待定型的极限(1998一(1)题，1999一(1)题，2003一(1)题，2006一(1)题，2008三(15)题，2003三题，1997五题)；(2)运算定理的正确使用与性质的正确理解(1997一(1)题，2000三题，2004二(8)题)：(3)已知某些极限求其中的某些参数(2009一(1)题)；(4)已知某函数的极限，求与此有关的另一函数的极限(数学(二)考过).仅供个人参考不得用于商业用途4.无穷小的比较：(1)给了若干个无穷小，比较它们的阶的高低(2004二(7)题，2007一(1)题)；(2)给了两个无穷小，已知一个是另一个的等价(或高阶)无穷小，求其中的参数(2002三题).5.函数的连续与间断：(1)讨论初等函数的间断点及类型(数学(二)考过多次)；(2)讨论分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数(数学(二)考过多次)；(3)函数以极限形式表达，讨论该函数的连续性(数学(二)考过多次)；(4)已知某些函数的连续性(间断点)，讨论与此有关的另一些函数的连续性(间断点)(数学(二)考过多次)；(5)连续函数介值定理的应用(2005三(18)题，2004三(18)题，数学(二)考过多次).读者请注意，上面提到的类型，数学(一)有许多未曾考到，所以本章尚有相当大的命题空间.其次，以后各章要用到本章内容，从而掌握本章内容是十分基础、十分重要的.第二章一元函数微分学思考的鱼点拨导数与微分是微分学的基本概念，导数与微分的计算是微分学的基本计算，导数与微分的应用——利用导数研究函数的性质是微分学的基本内容，每年必考，本部分分数在数学中平均约占高等数学部分的17％.本章的考题类型及知识点大致有：1.求导数与微分，导数的几何意义：(1)显函数求导数(未考过)；(2)隐函数求导数(2002一(2)题，2008二(10)题)；(3)参数式求导数(1997一(3)题)；(4)在直角坐标中求切线斜率、切线方程(2004一(1)题)，2002四题，2003三题，2005三(17)题)；仅供个人参考不得用于商业用途(5)在极坐标中求切线斜率、切线方程(1997一(3)题)；(6)奇、偶、周期函数的导数(2005二(8)题)；(7)变限积分求导数(2002四题，1997一(2)题，1998二(1)题，1999二(1)题，1997五题)；(8)导数的变量变换(变量变换变化微分方程)(2003七题).2.按定义求一点处的导数，可导与连续的关系.(1)讨论分段函数在分界点处的可导性或求导数(2005二(7)题)；(2)按定义讨论某点的可导性(1999二(2)题)；(3)已知某极限存在讨论某点可导，或反之，或利用导数求极限，利用极限求某点处的导数(200l二(3)题；2007(4)题；2009三(18)题)；(4)已知某点可导，求其中参数(2002三题)；(5)绝对值函数求导数(1998二(2)题)；(6)由极限表示的函数的可导性(2005一(7)题).3.讨论函数单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、曲率：(1)单调性与极值(2003二(1)题，2004二(8)题)；(2)增量、导数与微分的关系(1998二(3)题，2006二(7)题)；(3)凹向与拐点(2005三(17)题)；(4)渐近线(2005—1)题，2007一(2)题)；(5)曲率(1991九题考过).4.中值定理及其应用：(1)不等式的证明(2000二(1)题，1999六题，2004三(15)题)；(2)零点问题(2005三(18)题，1998九题，2000九题，2007三(19)题)；(3)有关函数与导数的关系(2001二(1)题，2002二(3)题，2007一(5)题)；(4)有关“中值”的极限问题(2001七题)；(5)泰勒公式的应用(1999六题，2001七题，2002三题)；仅供个人参考不得用于商业用途(6)中值定理的证明(2009三(18)题).由上列举可见，本章的知识点及考题类型几乎全部考到，频率出现多的是：变限积分求导数，按定义求导，不等式与零点问题，泰勒公式的应用.在按定义求导数时，应与使用洛必达法则的条件相区别.其他频率出现少的，也应注意，例如导数的几何意义、单调性与极值、绝对值函数求导数等.第三章一元函数积分学思考的鱼点拨定积分与不定积分的概念及运算是积分学的基础，利用定积分表示与计算一些几何、物理量是积分学的基本应用，每年必考，本部分分数在数学一中平均约占高等数学部分的17％.本章的考题类型及知识点大致有：1.不定积分与定积分的计算：(1)分段函数求不定积分(未考过)；(2)分段函数求定积分与变限积分(数学(二)考过)；(3)计算带绝对值号的定积分(数学(二)考过)；(4)计算般不定积分(2004(2)题，2001三题)；(5)计算一般定积分(2000一(1)题，2007二(11)题)：(6)计算反常积分(2002(1)题)；(7)计算被积函数含有导数或变限积分的积分(2005三(17)题).2.定积分的应用：(1)几何应用(1997二(2)题，2003三题，2007一(3)题，2009一(3)题，2009三(16)题，2009三(17)题)；(2)物理应用(1997七题，2003六题)；(3)利用积分和式求极限(1998七题).3.定积分(变限积分)的证明题：(1)不等式问题(包括估值问题)(1997二(2)题，1997二(3)题)；仅供个人参考不得用于商业用途(2)零点问题(1998九题，2000九题)；(3)关于奇、偶函数、周期函数的证明题(1999二(1)题，2005二(8)题，2008三(18)题)：(4)变限函数关于单调性的题(2009一(3)题)；(5)变限函数求导问题(1999一(2)题，1998二(1)题，1997五题，2008一(1)题)；(6)积分中值定理的应用(2000九题).本章虽然各类型大都考过，但变换具体函数去命题，考题空间仍很大，读者注意举一反三，掌握一般方法.第四章向量代数与空间解析几何思考的鱼点拨向量代数主要是向量的表示法与向量的代数运算(加减、数乘、点积、叉积)，空间锯析几何主要是曲面与空间曲线的方程，重点是平面、直线以及常见曲面(球面、柱面以及旋转面等)的方程，历年考题中直接对本部分命制的题目不多，且多为选择题或填空题.本章的考题类型及知识点大致有：1.关于向量运算：(1)给出一些关系求另一些关系(1995一(3)考过)；(2)两向量平行、垂直、交角、模等问题(未考过)；(3)三点共线与三向量共面问题(未考过)；2.直线与平面问题(大都与空间曲面的切平面、空间曲线的切线相结合的问题)：(1)求直线方程(1998三题)，2000一(2)题，1992二(3)考过)；(2)求平面方程(1997四(1)题，2000一(2)题，2003一(2)题，1989二(2)题，1990一(1)题，1991一(3)题，1994一(2)题，1996一(2)题都考过)；(3)平面与直线的相对位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)题，1995二(1)题都考过)；(4)点到平面的距离(2006一(4)题，1999八题).仅供个人参考不得用于商业用途3.二次曲面的题(大都与第六章相结合，给出二次曲面，要求知道它的位置及大致图形.二次曲面中常用的图形为椭球面(包括球面)、旋转抛物面、锥面、母线与坐标面平行的柱面.求旋转面的方程(2009三(17)题).由以上列举看出，近十年来本章单独考的不多，与第五章相结合的考过四次.应该说是属于不常考的章节.但基本公式、基本方法仍应掌握.第五章多元函数微分学思考的鱼点拨多元函数微分学包括有若干基本概念及其联系，多元函数的复合函数求导法及其应用，梯度向量与方向导数的计算方法，多元函数微分学的几何应用(求空间曲线的切线、法平面与空间曲面的切平面、法线)极值判断与最值问题等，在历年考试中多元函数微分学的平均分数约占高等数学的l／7，也是比较重要的.本章的考题类型及知识点大致有：1.求偏导数，全微分，方向导数，梯度，散度，旋度：(1)给出具体函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1994(3)考过)；(2)给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1998一(2)题，2005二(9)题，2006二(10)题，2000四题，2001四题，2007二(12)题，2006三(15)题，2009二(9)题)；(3)给出方程经变量变换化简方程(1997四(2)题，1996四(2)也考过)；(4)给出具体的方程求隐函数的偏导数或全微分(199l一(2)考过)；(5)给出抽象的方程(方程组)求隐函数的偏导数或全微分(1999三题)；(6)求方向导数，梯度，散度，旋度(200l一(2)题，2005一(3)题，3.5(2002八题，2008一(2)题，1992一(2)也考过).2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系：(1)函数在点处极限不存在性讨论(1997二(1)题)；(2)隐函数的存在性(2005二(10)题)；(3)偏导数的存在性(1997二(1)题)；仅供个人参考不得用于商业用途(4)全微分的存在性(200l二(2)题)；(5)函数在一点处连续性，偏导数存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的因果关系讨论(2002二(1)题).3.曲面的切平面，曲线的切线：(1)曲面的法向量、切平面与法线(2000一(2)题，2003一(2)题，1997四(1)题，1999八题，1993一(2)也考过，1994一(2)也考过)；(2)曲线的切向量、切线与曲线的法平面(2001二(2)题).4.极值与最值：(1)按定义讨论极值(2003二(3)题)；(2)极值的必要条件，驻点的讨论(2006二(10)题)；(3)求极值(含拉格朗日乘数法)与最值(2002八题，2007三(17)题，2008三(17)题，2009三(15)题)；(4)求隐函数的极值(2004三(19)题).由以上可见，本章各知识点大都考过，主要是计算.考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数，其次是方向导数，曲面的法向量与切平面(与空间解析几何相合).关于概念(见以上“2”)方面的题，应引起注意.关于“4”极值与最值的题，出题频率虽然不高，但有一定的综合性与难度，从考试结果看，这部分碍分不理想，考生不应忽视.第六章多元函数积分学思考的鱼点拨多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分与路径无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的1／4.本章的考题类型及知识点大致有：1.二重积分的计算及应用：(1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过，在其他题中出现过)；仅供个人参考不得用于商业用途(2)二重积分在极坐标中的计算与直极互化(2006二(8)题，2001八题，2005三(15)题，2006三(15)题)；(3)交换积分次序(2001一(