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1§4.4有理函数的积分有理函数的积分可化为有理函数的积分举例rationalfunction2定义两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.)()(xQxP;都是非负整数、其中nm,,,,,1010都是实数及mnbbbaaa.0,000ba且一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn真分式;,)2(mn假分式.nnnaxaxa+++-110mmmbxbxb+++-1103例1123+++xxx112++xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP++++++++----11101110)()(多项式的积分容易计算.有理真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和4有理真分式可以分解为一些最简单的分式之和,例如因此,有下列问题需要解决:(1)哪几类分式是最简分式(部分分式)?(2)怎样把一个有理真分式分解为若干个部分分式之和?(3)如何求各类部分分式的积分?如果这三个问题解决了,则有理真分式的积分问题也就解决了,从而有理函数的积分问题也就解决了。2111111xxx---+5对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理均可表为有限个任何有理真分式)()(xQxP.部分分式的和在实数域如果分母多项式)(xQ:上的质因式分解式为,)()()(20qpxxaxbxQ++-:)()(可唯一的分解为则xQxP,,为正整数)04(2-qp6)()(xQxP,,,都是常数其中诸iiiNMA,可由待定系数法确定的式中每个分式叫做)()(xQxP+-)(1axA部分分式(最简分式).,)()()(20qpxxaxbxQ++-)04(2-qp+-)(2axA+ax-+++++-1222)(qpxxNxM++++++qpxxNxM21-A1)(+++)(2qpxx11NxM+个常数待定个常数待定2(1)分母中若有因式,则分解后为kax)(-,)()(121axAaxAaxAkkk-++-+--注:有理函数化为部分分式之和的一般规律:其中kAAA,,,21都是常数.如对kax)(1-进行分解时-kax)(1,)()(121axAaxAaxAkkk-++-+--一项也不能少,因为通分后分子上是次的)1(-kx多项式,可得到k个方程,定出k个系数,否则将会得到矛盾的结果。(2)分母中若有因式,其中kqpxx)(2++则分解后为042-qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk++++++++++++-21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地:,1k分解后为;2qpxxNMx+++9用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有两种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;10例求xxxxd1123+++解由多项式除法,有+++1123xxx++1dd2xxxx原式Cxx++arctan22说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.112++xx假分式11+-+xxxxd6532例求6532+-+xxx)3)(2(3--+xxx+-2xA)2()3(3-+-+xBxAx)23()(3BAxBAx+-+++-+,3)23(,1BABA-65BA6532+-+xxx解3625-+--xx3-xB比较系数+-+xxxxd6532-+--xxxxd316d215xxxd3625-+--Cxx+-+--3ln62ln512xxxd)1(12-+xA)1()1(12-++-xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2x并将值代入BA,1-C11)1(112---+xxx2)1(1-xx例求2)1(1-xx解(1)(1)+-2)1(xB1-xC赋值13于是xxxd)1(12----+xxxxxxd11d)1(1d12Cxxx+----1ln11||lnxxxxd11)1(112---+xxxd)1(12-11)1(112---+xxx2)1(1-xx14)21)(()1(12xCBxxA++++ACxCBxBA+++++)2()2(12+++,1,02,02CACBBA51,52,54-CBA例求.d)1)(21(12++xxx解++)1)(21(12xx++xA2121x+CBx+比较系数二次质因式15xxxxxd15152d21542++-++++xxxd)1)(21(12-+)21ln(52x|21|ln52x+2151522154xxx++-++)1)(21(12xx++|1|ln512x+-Cx++arctan51++xxxd12512xxd11512+16注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列;d)1(xaxA-;d)()2(xaxAn-.d)()4(2+++xqpxxBAxn;d)3(2+++xqpxxBAx其中A,B,a,p,q都为常数,.042-qp分别讨论上述几种类型的不定积分.并设四种典型部分分式的积分之和.n为大于1的正整数.17xaxAd)1(---axaxA)(dCaxA+-lnxaxAnd)()2(---naxaxA)()(dCaxnAn+---1)(1118+++xqpxxBAxd)3(2xqpxxd2++xqpxxpAAxd22+++xqpxxpABd1)2(2++-+xqpxxpxAd222+++pA2+AxB+pA2-++)(2qpxxxqpxxpABd1)2(2++-+++qpxx2)4()2(22pqpx-++px+219-+++-+)4()2()2(d)2(22pqpxpxpABqpxxA++2ln2-+++-+2224)2()2(d)2(pqpxpxpABqpxxA++2ln2CpqpxpqpAB+-+--+42arctan4)2(22++++qpxxqpxxA22)(d2解例例2求++-dxxxx3222解++-dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22++-+++dxxxdxxxx++-+++321332222122+++-++++2222)2()1()1(332)32(21xxdxxxxdCxxx++-++21arctan23)32ln(212解++-dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22++-+++分母是二次质因式的真分式的不定积分21+++xqpxxBAxnd)()4(2xqpxxnd)(2++++++nqpxxqpxxA)()(d222xqpxxpABnd)(1)2(2++-+++++nqpxxqpxx)()(d22xqpxxInnd)(12++pA2pA2-+AxB+112))(1(1Cqpxxnn+++---++)4()2(d22pqpxxn22用递推公式+natt)(d22xqpxxInnd)(12++-++)4()2(d22pqpxxnt2atd-++---11222)32()()1(21nnnInattnaI23应重点提高计算的(1)部分分式法;此法一般运算较繁.(2)拆项法;(分项积分法)(3)换元法;(4)配方法.有理函数积分是三角函数有理式积分、无理函数积分的基础,熟练程度和技巧,一般有以下方法:24例求xxxxd)22(222++分析解原式=xxxxxd)22(22222++++分项xxxxd)22(2222+++-凑微分从理论上看,可用部分分式法,但计算复杂,故不宜轻易使用,xxxd)22(22++2x22++x22--x应尽量考虑其它方法.约去公因子++221)1(dxx配方++++-222)22()22(dxxxx++)1arctan(xCxx+++221227例求xxxd)1(1002-解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换tx-1tttd)1(1002--ttttd211002+--ttttd1219899100+--分析分母是100次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.28Cttt+-+--979899971491991Cxxx+-+---979899)1(971)1(491)1(991或xxxd)1(1002-xxd)1(1002-xxxxd)1(1)1(2)1(1002-+---1)1(--x分项-+---1009998)1(d)1(d2)1(dxxxxxx+1d4xx例求常规方法:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!30+xxd14)1(2+x)1(2--x+1d4xxxxxxd11121222++xxxxd11121222+--+-2)1(212xx)1(dxx--+-2)1(212xx)1(dxx+技巧例求解原式=21arctan221xx-21-221ln21-+xx21++xx)0(x21C+31三角有理式的定义:由三角函数和常数经过)cos,(sinxxR,tansin1xx+,)cos1(sinsin1xxx++.2sin451x+有限次四则运算构成的函数称之.一般记为如二、可化为有理函数的积分举例1.三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数回答是肯定的.322cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx2tan12tan22xx+.d)cos,(sinxxxR对由三角学知识可用可通过变换2tanxu事实上,由2tanxu万能公式代换则,arctan2uxuuxd12d2+212uu+2tanx表示.化为有理函数的积分.2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx2tan12tan22xx+212uu+2sec2tan1cos22xxx-2tan12tan122xx+-,12sin2uux+,11cos22uux+-duudx212+xxxRd)cos,(sinuuuuuuRd1211,122222++-+2211uu+-u的有理函数例求积分.cossin1sin++dxxxx解,12sin2uux+2211cosuux+-,122duudx+由万能置换公式++dxxxxcossin1sinduuuu++)1)(1(22duuuuuu++--++)1)(1(112222duuuuu+++-+)1)(1()1()1(222duuu++211duu+-11uarctan)1ln(212u++Cu++-|1|ln2tanxu2x|2sec|lnx+.|2tan1|lnCx++-36例求.dsin14xx解法一2tanxu212sinuux+uuxd12d2+xxdsin14uuuuud83314642+++Cuuuu+++--]33331[8133Cxxxx+++--332tan2412tan832tan832tan241回代37法二不用万能代换公式xxdsin14dxxx)cot1(csc22+xdxxxdx222csccotcsc+)(cotxdCxx+--3cot31cot比较以上两种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,
本文标题:§4.4_有理函数的积分
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