计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程

牛顿迭代法–非线性方程2016/2017学年第一学期（16周）计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院1牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点，曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作第二点，依次循环设方程有根，且，如图所示牛顿迭代法几何含义*()0()0fxxfxx*x0x1x2xky=g(x)计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院2牛顿迭代法几何含义0000100()()()()0()fxyfxfxxxyxxfx令x*x0x1x2xky=g(x)1111211()()()()0()fxyfxfxxxyxxfx令计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院3牛顿迭代法定义：从几何上看，越来越接近。由此，不难归纳出一般迭代公式以上方法称作牛顿迭代法（也称切线法）*12,xxx10()()()kkkkfxxxxfx为初值定理：设是方程的一个单根，且，则，牛顿迭代法以2阶速度收敛于方程根。**()0()0xfxfxx计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院4证明：事实上，迭代函数，且当时，由迭代定理可知，牛顿迭代法以2阶速度收敛于。牛顿迭代法232*3*()()()()()()()2()()()()()fxfxfxfxfxxfxfxfxfxfxfx()()()fxxxfx2()()(),()0()fxfxxxfx**()0fxx计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院5例：证明以上公式，对于初值整体收收敛于，且收敛速度是2阶的。牛顿迭代法定义：对于给定正数a，应用牛顿迭代法解二次方程，可求的计算公式20xaa0(0,)x112kkkaxxxa计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院6牛顿迭代法证明：从牛顿迭代法可得12221()()2()1222kkkkkkkkkkkkkkfxxxfxxfxxaxaxxxaxxx22112111212kkkkkkkkkkaxaxxaxaxaxaxaxaxx计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院7牛顿迭代法证明：反复递推可得21221111200==kkkkkkkaxaxaxaxaxaxaxax11201201(1)1kkkaxqqqxaaxq若记：1limkkxa计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院8牛顿迭代法证明：11kkeax设1122kkkkeaxeax=-121lim2kkkeea=-*1lim0kpkkexep从迭代法则得知：时，该迭代式在的附近阶收敛的。11(0,)22kkkaxxxa因此，在上以阶速度整体收敛于。计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院9例题例：给出计算的牛顿迭代公式，并计算。3a计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院10例题解：设方程，则，代入牛顿迭代公式可得当a=3时，迭代公式为取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。2()0()2fxxafxx1132kkkxxx21()1()22kkkkkkkkkfxxaaxxxxfxxx01.5x01.5000000000000011.750000000000000.2521.732142857142860.0178571428571431.732050810014730.0000920471281341.732050807568880.0000000024458551.7320508075688801kkkkxxx31.73205080756888计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院11例题例：设a0，推导用牛顿迭代法计算1/a的公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并计算1/6。计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院12例题解：设方程，则，代入牛顿迭代公式可得当a=6时，牛顿迭代公式为取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。211()0()fxafxxx1(26),(0,1,)kkkxxxk1()(2),(0,1,)()kkkkkkfxxxxaxkfx00.15x00.15000010.1650000.01520.1666500.0016530.1668170.00016740.1666670.0007550.16666701kkkkxxx11.666676计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院13例题例：用牛顿迭代法计算1/1.2345。计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院14例题解：将转化为，代入牛顿迭代公式可得取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。11()01.2345xfxaaax21()21.2345()kkkkkkfxxxxxfx01x01.0000000000000010.765500000000000.234520.807595036375000.04209503637530.810037145291130.0024421089161340.810044552382650.0000074070915250.810044552450380.0000000000677360.8100445524503801kkkkxxx10.810044552450381.2345计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院15例题例：设用牛顿迭代法求方程，在节点附近的根，要求精度。()1xfxxe50.510x计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院16例题解：由，代入牛顿迭代公式可得取，代入牛顿迭代公式，计算结果如表所示。()(1)xfxex21()(1)()(1)kxkkkkxkkfxxexxfxex00.5x00.50000010.5710200.07102020.5671570.00386330.5671430.00001440.56714301kkkkxxx4x所以为近似根