分形结构

第二讲分形(Fractals)南京大学天文系周济林[e-mail]《非线性科学暑期讲习班》内容提要•分形的例子（刘佳成提供2008）•分形的定义及分维•产生分形的数学模型•产生分形的物理模型3芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述其性质的。4BenoitMandelbrotOxford的Newton博物馆分形几何的创始人51924年出生于波兰华沙;1936年移居法国巴黎;1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位;1952年在巴黎大学获数学博士学位;曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲座”教授,IBM公司的研究员.博学多才的大师6分形－西兰花7分形－树林8分形－烟灰9分形－DLA（扩散限制凝聚）10分形－DBM（电介质击穿模型）11分形－蕨类植物12分形－雪山山岭13分形－闪电1415最大的特点：自相似性理想的自相似结构：如Cantorset、Sierpinskigasket、Mengersponge16理想的自相似结构！17不是严格规则的自相似性称为统计相似性或者无规相似性——无规分形（1）无规凝聚：电解溶液时，金属例子向阴极靠近，沉淀。金属离子沉淀到那一点是完全随机的；结晶；溅射生长等等（2）无规界面网络。界面结构如金属表面的晶粒无规排列；磁铁材料表面的磁畴排列；某些合金，物理、化学吸附涂层。（3）多孔材料。某些岩石，煤和陶器。（4）粗表面。月球表面；地球上的各种地貌（山峦起伏，沙丘……）（5）逾渗集团。（6）粘性指进。二、分形及分维定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。Fractal一词是B.B.Mandelbrot1975年提出的。Koch曲线Sierpinski地毯分形三要素•形状•维数（随尺度变化的一个有限、定量描述）•随机性（随机产生、动力学）(1)相似维2(1/4)4Nlog2log30.63Dlog4log31.26Dlog()log(1/)0limND1(1/4)4NCantor三分集Koch曲线Sierpinski地毯log4log31.26Dlog3log21.58D维数22Sierpinski地毯ln8/ln31.8928Hd23Sierpinskigasketln5/ln22.3219Hd24Sierpinskigasketln20/ln32.7268Hdi}VF.Fiii称{V为分形的一个覆盖，若V是直径小于的集合（即0|V|）,且1()inf{||:{}ssiiiHFVVF记为的覆盖}定义2：011()()()()(1)()0(2),()();(3)()()limsnssssssssiiiisHFHFHFHFHEFHEHFHFHFHi随着减小，能覆盖F的集类也减小，故下确界随着增加。当0时趋向于一极限(对中的子集该极限都存在,但可以是零或无穷)，记，容易证明是一测度，事实上：若是空集，则＝；若则若{F}为任何可数不交波雷尔序列，则则称()FFsn为的维豪斯道夫测度。可证明，中任何子集的n维豪斯道夫测度与n维勒贝格测度（n维体积）仅相差一常数倍。（2）豪斯道夫(hausdorff)维数定义1：欧式空间中开（闭）集合的可数并或交不减若F是Rn中波雷尔子集，则)(FVolCnnn其中常数：)!(2/2121nCnnn为直径为1的n维球的体积。（K.Falconer《分形几何－数学基础与应用》）().()().0(),()0.ttststtssstHFtHFHFHFHFiiiii关于不增：若ts，且{U}为F的-覆盖，有|U||U|取下确界得，令，可见对ts，若则()sHF0sdimHFdimHF所以，存在，使得()0sHFHH若sdimF＝若sdimFdimHFF称为的豪斯道夫维。(3)计盒(box-counting)维数•改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。1()inf{||:{}ssiiiHFVVF为的覆盖}N(,)F若用表示覆盖F的盒子数目，则根据豪斯道夫测度定义0且时，0lim(,)0SNFBB若sd＝若sd1()inf{||:{}(,)ssSiiHFFNF此时有：为的有限覆盖}＝0ln(,)ln(1/)0lim(,)limNFNFB－dB故只有：～时，该极限才有限。故定义：d,称为计盒维数。数值计算和实验中广泛采用29一些无规分形的维数（1）海岸线和边界线(Ruler)20世纪20年代，英国科学家L.F.Richardson研究海岸线的长度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺测得的长度不同。海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍然是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形r()Nr3031用不同的尺子测量科赫曲线的长度:32（3）box-counting33（4）generalbox-counting定义：设{Ci}(i=1,…,N)为D维欧氏空间对某一个集合（如吸引子）的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷，可以遍历该集合的除一个零Lebesgue测度外的所有点，我们称该轨道是典型的。设从x0出发的一条典型轨道，其在T时间内在Ci内度过的时间为η(ci,x0,T),则定义该Ci的自然测度为：0(,,)limiCxTiTT(4)分维谱计盒维数非常简单，但反映的信息不多（稠密情况）。更广义的维数有：定义：)/1ln(),(ln011limqIqqD其中：)(1),(NiqiqIN(ε)为大小为ε的盒子的数目。该维数称为Dq维。其特例：q=0,I(0,ε)=N(ε),得到计盒维数若所有μi都相等,μi=1/N(ε),则lnI(q,ε)=(1-q)lnN(ε),同样得到计盒维数.故只有等概率或不算概率时Dq维才等于计盒维数。q=1,定义qqDD11lim则根据L’Hospital法则)/1ln(),(ln011limqIqqD)ln(ln01)(1limiNiiD该维数称为信息维。q1q2,有Dq1Dq2q=2:2ln(,)101ln(1/)limiqqqD称为分形结构的关联维数。所以对所有q,Dq形成了一个分维谱，一般地二、产生分形的数学模型•复变函数迭代的JuliaSet•牛顿迭代法根的吸引域•动力系统的相空间（或子集）结构（1）复变函数迭代的Julia集原理：Zn+1=Zn2，单位圆上处处不稳定周期轨道Zn+1=Zn2+c1(,),()nnzfzcfJuliaJf对于复迭代的集定义为f不稳定周期点集的闭包。复迭代的Julia集-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5xy2.004.507.009.5012.014.517.019.522.0JuliaSetofzn+1=zn2+i计算机制图方法：Mkmax000找出|f（x,c）|r=100的最小k,在复平面z=x+iy上画出k的‘等势图’。k的图就是集-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5xy3.0003.8754.7505.6256.5007.3758.2509.12510.00c=2Julia集的特点•J(f)为多项式f的不稳定周期轨道的闭包，在f和f-1下不变；•J(f)是f包括无穷远点在内的每一吸引不动点的吸引域边界；•f在J(f)上是混沌的，即具有初值敏感性。1(,):()nncMandelbrotMZfzcJuliaJf定义集为使的集连通的参数c的集合：M={c是连通的}上述定义不适合计算，一个等价定义为：1:{(0)}ckfM={c有界}计算机制图方法：Mkmax000找出|f（0,c）|r=100的最小k,在复平面c上画出k的‘等势图’。k的图就是集-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5ReCImC4.006.258.5010.813.015.317.519.822.0MsetofZn+1=zn2+cCC21,(nnzzcc复迭代为复数)的Mandelbrot集RecImc011012ci0.1230.745ci0.75c0.3910.587ci（2）牛顿求根法不同根的吸引域()1'()nnfznnfzzz()0fz寻找的根，采用牛顿求根法：类似复函数迭代的Julia集，上述迭代不同根的吸引域的边界可能是非常复杂的集合。()1'()().(){:()}nnfznnnfzkzfzzAzfz相当于复函数迭代：定义:为根的吸引域。3101-0.5+0.86603i-0.5-0.86603iz的三个根：，，的吸引域4101z的四个根：，i的吸引域三、产生分形的物理模型•浸透(percolation)•扩散限制凝聚（Diffusion-LimitedAggregation）•一些系统的能谱（1）Percolation(浸润)0(,1(1pp网格出现金属，白格)的概率为绝缘成分，黑格）的概率为问题：?c出现贯穿上下的cluster的临界概率p临界概率下该cluster的结构？1.89()cDpD与无关（n=2)2.5(n=3)（2）扩散限制凝聚（DLA,Diffusion-LimitedAggregation)1981年A.Witten和M.Sander提出的以解释烟尘微粒的形成过程。种子扩散（无规行走）~lam/dla/dla100m.html1亿粒子形成的DLA图1.700.06;(2)2.530.06;(3)ffdddd52（3）DBM模型L.Niemeyer等人提出了一个与DLA模型十分相似的电介质击穿模型（dielectricbreakdownmodel,简称DBM）模型。用来说明电介质被击穿现象。通过设置很小的空间距离对气态、液态或者固态的绝缘体施加强电场，会出现放电从而产生非常美丽的击穿放电。毫无疑问，闪电是最有名的例子了。表面放电(Lichtenbergfigures)和聚合物中也看到放电树。53本章参考文献•谷超豪主编：《别有洞天－非线性科学》，湖南科学技术出版社，2001•K.J.Falconer：《分形几何－数学基础及其应用》曾闻曲等译，东北工学院出版，1991年作业•选取任一模型，得到一个分形结构；•计算该结构的任一种维数