第4讲 结构力学方法(二)

中南大学土木工程学院隧道工程系主讲教师：施成华隧道力学第4讲结构力学方法（二）本讲主要内容：1、隧道衬砌结构计算的矩阵位移法2、隧道拱脚地基荷载的计算土木工程学院隧道工程系施成华一、隧道衬砌结构计算的矩阵位移法（1)基本原理矩阵位移法又叫直接刚度法，它是以结构节点位移为基本未知量，联接在同一节点各单元的节点位移应该相等，并等于该点的结构节点位移（变形协调条件）；同时作用于某一结构节点的荷载必须与该节点上作用的各个单元的节点力相平衡（静力平衡条件）。第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华（2)计算过程（1）进行单元分析，确定单元节点力和单元节点位移的关系——单元刚度矩阵（2）进行整体分析，将每一个节点上有共同位移的各单元刚度矩阵元素简单的叠加起来，建立以节点静力平衡为条件的结构刚度方程（3）利用边界条件，由结构刚度方程中解出未知的结构各节点的位移，也就是解结构刚度方程（4）根据变形协调条件，求得汇交于该节点各单元的单元节点位移，进而求出单元节点力——衬砌内力第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华计算特点:①三种单刚◆衬砌单刚：梁单元◆抗力单刚：二力杆单元◆基础单刚：支座单元②拼总刚(结构刚度矩阵)③边界条件～墙基础水平位移为0④求解以节点位移为未知量的方程组～高斯消去法等⑤由节点位移求出单元节点力～内力第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华（3）计算图式1)衬砌结构的处理第4讲结构力学方法—矩阵位移法隧道衬砌属于实体的拱形结构，这种结构受弯矩和轴力的影响较大。因此要把衬砌沿其轴线离散化为一些同时能承受弯矩和轴力的梁单元。同时，假定单元是等厚度的，其计算厚度取为单元两端厚度的平均值。单元的数目视计算精度的需要而定。隧道边墙的底端是直接放在岩层上的，故可以假设边墙底端是弹性固定的，即能产生转动和垂直下沉。但由于边墙底面和围岩之间摩擦力甚大，一般不能产生水平位移。土木工程学院隧道工程系施成华（3）计算图式1)衬砌结构的处理第4讲结构力学方法—矩阵位移法对于一些特殊形式的衬砌，比如拱和边墙的轴线不连续（带耳墙的明洞）或者墙基需要展宽时，需要添加一个特殊单元——刚性单元。土木工程学院隧道工程系施成华（3）计算图式1)衬砌结构的处理第4讲结构力学方法—矩阵位移法当结构和荷载都对称时，可只取半跨进行计算，此时在拱顶截面处不允许有水平位移和转角位移，可在拱顶截面切开的位置设置两根水平链杆作为边界的约束条件。对于结构对称而荷载不对称的情况，由于拱顶截面切开处不允许有相对垂直位移，因此要在拱顶截面切开处设一根竖向链杆以表示原结构的约束状态。土木工程学院隧道工程系施成华2)等效节点荷载的处理◆按“静力等效”原则进行，即均布荷载所作的虚功应等于节点荷载所作的虚功。◆按“简支梁分配”的原则进行。第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华3)围岩弹性抗力的处理第3讲结构力学方法—矩阵位移法将弹性抗力作用范围内的连续围岩，离散为若干条彼此互不相关的矩形岩柱。矩形岩柱的一个边长是衬砌的纵向计算宽度，通常取为单位长度，另一个边长是两相邻的衬砌单元的长度之半的和，岩柱的深度与传递轴力无关故不予考虑，为了便于力学计算，用一些具有一定弹性性质的弹性支承（弹性链杆）来代替岩柱，并让它以铰接的方式支承在衬砌单元之间的节点上，所以它不承受弯矩，只承受轴力。土木工程学院隧道工程系施成华3)围岩弹性抗力的处理◆以弹簧支承模拟围岩弹性抗力，即在每个节点上设置一根弹簧链杆，弹簧力即为围岩抗力；◆以温氏假定反映抗力与节点位移的关系；◆弹簧支承的方向：应按衬砌与围岩的接触状态而定。第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华（4）单元刚度矩阵1）衬砌单元刚度矩阵(衬砌单刚)第4讲结构力学方法—矩阵位移法任取一个单元，建立坐标系，每个衬砌单元在两端共有6个节点位移分量（轴向位移、横向位移、转角位移）和6个节点力分量（轴力、剪力和弯矩）土木工程学院隧道工程系施成华（4）单元刚度矩阵1）衬砌单元刚度矩阵(衬砌单刚)第4讲结构力学方法—矩阵位移法根据结构力学及弹性力学，建立节点力和节点位移之间的关系，可得梁单元的刚度方程为：jjjiiijjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMQNMQN460260612061200000260460612061200000222323222323eeeKS土木工程学院隧道工程系施成华（4）单元刚度矩阵1）衬砌单元刚度矩阵(衬砌单刚)第4讲结构力学方法—矩阵位移法为了进行“整体”分析，需将局部坐标系中的单元刚度矩阵转换到总体坐标系中cossinsincosiiiiiiQNQQNNiiMMjjjiiijjjiiiMQNMQNMQNMQN1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincoseeSTS1eeeeeTTTeeeeSTSTSTKTKTK土木工程学院隧道工程系施成华（4）单元刚度矩阵2）弹性支承链杆单元刚度矩阵(抗力单刚)第4讲结构力学方法—矩阵位移法iiiixubskR11sinsin21iiiiillseieReiKR要点：◆其局部坐标系与总体坐标系一致；◆由温氏假定求抗力。土木工程学院隧道工程系施成华第4讲结构力学方法—矩阵位移法3）墙脚弹性支座单元刚度矩阵22BBxBxbdxMnBBnBxkxyknBBBkbBM3121BtBBBnBBvBbkQuBbkNBBBnBtBnBBBBvubBkbBkbBkMQN120000003eBeBeBKS（4）单元刚度矩阵土木工程学院隧道工程系施成华（4）单元刚度矩阵4）刚性单元第4讲结构力学方法—矩阵位移法当拱脚和墙顶衬砌轴线不连续或者墙底需要展宽基础时，就要添加一个特殊的衬砌单元，即刚性单元。这种单元能承受部分垂直荷载和水平荷载的作用，其单元本身可看作是刚性的，在理论上讲单元的刚度为无穷大。在实际运算中，通常取刚性单元的刚度为普通单元刚度的30倍。土木工程学院隧道工程系施成华（5）建立结构刚度方程1）结构刚度方程的形成对结构每个节点建立静力平衡方程式，将所有节点的平衡方程式集合在一起就是结构的刚度方程。第4讲结构力学方法—矩阵位移法111,1,,11,1iiiiiRiiiiiiiiiiiixiiiiiKKKKKRSSPiiiiiiiiiiKKS,11,111,1,1iiiiiiiiiiKKSnnnnnnnnnnnnnnnnnKKKKKKKKKKKKKKKKPPPPPP13210,1,,11,112,14343333232322221212111101010013210土木工程学院隧道工程系施成华（5）建立结构刚度方程2）结构刚度矩阵的特点◆对称矩阵(反力互等定理)；◆稀疏的带状矩阵，非零元素的个数一般只占元素总数的5％左右；◆是奇异矩阵。在求解结构刚度方程时，必须有足够的边界约束条件以限制结构的刚体位移，才能使得方程有唯一解。第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华（6）未知节点位移的求解和弹性支承的调整1）边界条件◆围岩抗力弹簧支承就是一种边界约束，已在拼总刚中考虑了；◆基底支座～水平位移为0。2）方程组求解：高斯消去法；迭代法3）对围岩抗力弹簧支承的自动调整第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华（7）衬砌内力的计算求出最终的结构节点位移后，根据变形协调条件—结构节点位移与汇交于此节点的单元节点位移相等，即可求出各单元的节点位移，而后，由单元刚度方程以及坐标转换矩阵，就可求出对应于单元局部坐标的单元节点力第4讲结构力学方法—矩阵位移法ieieeeeBTKS土木工程学院隧道工程系施成华（8）直刚法计算流程图第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华◆当时，由抗压强度控制其承载能力，因此仅需按抗压强度进行检算。（9）衬砌截面强度检算he2.00bhRKNa◆当时，由抗拉强度控制承载能力，仅需按抗拉强度进行检算。he2.001675.10hebhRKNl第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华◆偏心距限制混凝土衬砌的偏心距不宜大于0.45倍截面厚度；石砌体偏心距不应大于0.3倍截面厚度；基底偏心距，对岩石地基不大于1/4倍墙底厚度，对土质地基不大于1/6倍墙底厚度。第4讲结构力学方法—矩阵位移法土木工程学院隧道工程系施成华目前我国隧道的相关规范只对明洞地基提出了承载力的要求，对暗洞地基的承载力没有明确规定。由于软弱围岩中隧道多为带仰拱的封闭环形结构，隧道整体结构很少会出现地基承载力不足的问题。但是，当考虑到隧道分部开挖和支护时，软弱围岩两侧拱脚地基承载力不足的问题就比较突出。第4讲结构力学方法—隧道拱脚地基荷载的计算二、隧道拱脚地基荷载的计算土木工程学院隧道工程系施成华在二次衬砌没有浇筑前，隧道初期支护上作用的外力包括：围岩对初期支护的竖向压力、水平压力、弹性抗力、围岩与初期支护的摩阻力、锚杆对初期支护的轴向约束力和横向约束力、地基对拱脚的支撑力。第4讲结构力学方法—隧道拱脚地基荷载的计算1、初期支护所受的的外力分析左右基底初期支护锚杆初期支护锚杆ωStSrΤ土木工程学院隧道工程系施成华围岩弹性抗力的分布和结构的变形密切相关，考虑到软基隧道初期支护结构大部分部位的变形朝向洞内，加之软弱围岩中围岩强度较低，弹性抗力系数也较小。因而，忽略围岩弹性抗力的作用。对于锚杆，由于隧道系统锚杆主要起加固围岩作用，其尾部虽然握裹在初期支护中，在不加预应力的情况下，锚杆对初期支护的轴向拉力有限，也将其忽略。第4讲结构力学方法—隧道拱脚地基荷载的计算1、初期支护所受的的外力分析土木工程学院隧道工程系施成华因此，对于初期支护结构，荷载为松散围岩产生的竖向和水平向压力；承载力包括围岩抵抗初期支护滑移的摩阻力、锚杆的横向约束力和拱脚提供的支撑力。作用在拱脚地基上的荷载一般为竖向荷载，以下仅对竖直方向的力进行分析。第4讲结构力学方法—隧道拱脚地基荷载的计算1、初期支护所受的的外力分析rvQGSTNN左右土木工程学院隧道工程系施成华对于和，在实际工程中还需要考虑以下因素：1)在常用复合式衬砌中，如果二次衬砌能适时施做，二次衬砌可以和初期支护共同分担围岩压力，因此初期支护只承担一定比例的围岩压力；2)围岩压力有一个逐步释放的过程，与围岩条件和时间有关，初期支护单独承载时间越长，围岩压力释放越充分，初期支护分担的围岩压力比例越高，因此，考虑荷载释放系数，有：第4讲结构力学方法—隧道拱脚地基荷载的计算1、初期支护所受的的外力分析Q