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离散傅里叶级数电子信息工程学院王俊•数字信号处理的实现原理框图C/D)(txc][nxTD/C)(tyr][nyT离散时间系统引言)(txc)(ts)(txs)(][nTxnxc冲击串到离散时间序列的转换jHr][nx)(txs)(ts)(txr•前章:连续域和离散域之间的关系前章:时域离散过程)(txct0T2T3T-3T-2T-T)(txc)(ts0123-3-2-1)(txcnx0T2T3T-3T-2T-T)(ts)(tstxtxcs)(txc)(ts)(txs)(][nTxnxc冲击串到离散时间序列的转换前章:时域离散,频域的变化202T1)(jeXNN)(jXc1s0sT1NNNs)(jXskcjTjkTjXTeX)2(1Ts0s)(jST2前章:结论•时域信号离散了,频域重复•其中最重要的是冲击串信号202T1)(jeX0123-3-2-1)(txcnx0T2T3T-3T-2T-T)(tss0s)(jST2离散的方法•时域信号离散了•本节:需要将信号频域离散•如何离散??•提示:可以参照时域的离散过程kXeXj)(nxtxc)(时域离散:利用时域冲击串对连续信号进行相乘,从而将连续信号离散化。)(txc)(ts)(txs)(][nTxnxc冲击串到离散时间序列的转换因此,可以利用频域冲击串将频域离散化离散方法:采样•采样过程)(txct202T1)(jeX0T2T3T-3T-2T-T)(txc)(tsT1jeX~0123-3-2-1)(txcnx202T1N-NkX~k0T2T3T-3T-2T-T)(ts2021jeP~离散方法中:最重要的信号•冲击串0T2T3T-3T-2T-T)(ts2021jeP~傅里叶概念•寻找频域冲击串•学习过的傅里叶变换–连续时间、连续频率——傅里叶变换;–连续时间、离散频率——傅里叶级数;–离散时间、连续频率——序列傅里叶变换;•离散序列的傅里叶级数–时域周期的信号存在傅里叶级数周期序列的表示:离散傅里叶级数•什么是周期序列•周期序列记作:rNnxnx~~0-NN周期序列的表示:离散傅里叶级数•周期序列可展开成傅里叶级数•其中:周期性复指数kknNjekXNnx)/2(][~1~,2rNneenekknNjk周期序列的表示:离散傅里叶级数0N-10N-102jeN-1je0e23je0N-1je0e2je3je0N-10e29je3je23je10ne21njenejnene2233njene0X1X2X3XkknNjekXNnx)/2(][~1~周期序列的表示:离散傅里叶级数•周期序列可展开成傅里叶级数•傅里叶级数相当于对x[n]的正交分解10)/2(][~1][~NkknNjekXNnx傅里叶级数系数•的正交性•等比数列求和公式•即,其他为整数0,,1110))(/2(mmNrkeNNnnrkNjknNjkene2aaaNNnn1110mNrkeNNnnrkNj10))(/2(1傅里叶级数系数•傅里叶级数的表示•两边同乘以累加•交换求和次序•利用公式•则10)/2(][~1][~NkknNjekXNnxmNrkeNNnnrkNj10))(/2(1knNje2101010))(/2()/2(][~1][~NnNnNknrkNjrnNjekXNenx]1[][~10))(/2(10NnnrkNjNkeNkX10)/2(][~][~NnrnNjrXenx10)/2(][~][~NnknNjenxkX•也为N的周期序列傅里叶级数系数•我们注意:][~][~][~][~210)/2(10)/2(kXeenxenxNkXnjNnknNjNnnNkNj][~kX周期序列离散傅里叶级数的表示•10][~][~NnknNWnxkX分析式:10][~1][~NKknNWkXNnx综合式:)/2(NjNeW][~][~kXnxDTFS例8.1周期脉冲串的傅里叶级数0N-NrrNnnx][][~101][][~NNknNWnkXrNkknNjNkknNeNWNrNnnx10)/2(1011][][~0N-N例8.3周期矩形脉冲串的傅里叶级数4040)10/2(10][~nnknjkneWkX)10/sin()2/sin(11][~)10/4(10510kkeWWkXkjkk-10-5051000.10.20.30.40.50.60.70.80.91nx[n]2481600.511.522.533.544.55kabs(X[k])061012141820220246810121416182022-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81kangle(X[k])/pi离散傅里叶级数与变换的关系•上述过程和第四章采样重构的过程类似10][~][~NnknNWnxkXnnjjenxeX][)(2T1jeX~202T1N-NkX~k离散傅里叶级数与变换的关系•采样重构•该过程将离散域和连续域联系起来•同时赋予n在时间轴上的物理意义nx0T2T3T-3T-2T-T)(txc)(ts0123-3-2-1)(txcnxtxsnTtnsnTtnxtx)(][离散傅里叶级数与变换的关系0N-102jeN-1je0e23je0N-1je0e2je3je0N-10e29je3je23je10ne21njenejnene2233njene0X1X2X3X04/2Nk/24/224/32离散傅里叶级数与变换的关系•该过程同样将离散域和连续域联系起来•同时赋予n在频率轴上的物理意义nnjjenxeX][)(10][~][~NnknNWnxkX2T1jeX~……202T1N-NkX~kNk/2NkkXNeXkj2][~2)(~周期脉冲串的傅里叶变换2021jeP~rrNnnp][][~1][~kPNkNePkj22)(~0N-N0N-N小结•本节需要掌握内容–离散序列傅里叶级数的定义–离散序列傅里叶级数综合式的证明过程–离散序列傅里叶级数与离散序列傅里叶变换的关系作业•时域离散的用到了时域脉冲串,在频域离散里起到相同的作用。试比较两者时域、频域,连续域、离散域的异同?•P4838.1、8.2][~npts
本文标题:第8章 离散傅里叶变换
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