第9章 圆轴扭矩的应力变形分析与强度设计

2020/1/181第九章圆轴扭转时的应力变形分析和强度刚度设计2020/1/182扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。2020/1/183工程上将主要承受扭转的杆件称为轴汽车传动轴2020/1/184汽车方向盘2020/1/185丝锥攻丝2020/1/186一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.m其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）2020/1/1879.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。2020/1/1883扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩mmmTmTmTmx00x二、扭矩及扭矩图2020/1/1894扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT2020/1/1810复习剪切和切应力杆件受大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力作用时，两力之间的截面将发生相对错动，这种变形称为剪切。发生错动的面称为受剪面。剪切时，受剪面上的内力为剪力Q，相应的应力为剪应力τ。2020/1/18111.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。2020/1/18123.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。2020/1/1813①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。圆轴上的每个微元的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变。这表明圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力，这是平衡所要求的。2020/1/18140故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz9.2切应力互等定理2020/1/1815该定理的内容为：同一点的、位于两个互相垂直面上且垂直于两面交线的二剪应力，其大小相等、方向均指向两面的交线或均背离两面的交线。2020/1/1816应明确，τ=τ’只在同时满足下列条件时才成立：①τ和τ’为同一点的剪应力；②τ和τ’广所在的两平面相互垂直；③τ和τ’的方向都垂直它们所在的两个截面的交线。否则，τ和τ’不存在互等关系。2020/1/18179.3圆轴扭转时的切应力分析分析圆轴扭转切应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法基本相同，具体过程是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到应变分布，亦即得到变形协调方程。再由变形协调方程与应力－应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式。最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。2020/1/1818圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，假定：因轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转的平面假定。所谓“刚性地转过一角度”就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。2020/1/18199.3.1变形协调方程mmOBArmm扭转角（）,剪应变（）,r为横截面的半径。2020/1/1820xxGGdddtg1xdd距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。xdd——扭转角沿长度方向变化率，是常数。2020/1/1821Mx=mxM剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。9.3.2弹性范围内的切应力—切应变关系2020/1/1822G式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1(2EG2020/1/18232.物理关系：虎克定律：代入上式得：GxGxGGddddxGdd切应力沿横截面的半径呈线性分布。一个不变的量。对于特定的某个截面是dxdGdxd)(2020/1/18243.静力学关系：OdAAxGAxGAMAAAxddddddd22AIApd2令xGIMpxddpxGIMxdd代入物理关系式得：xGddpxIM)(rigitidytorsionalGI为圆轴的扭转刚度2020/1/1825pxIM—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：Mx—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。9.3.4圆轴扭转时横截面上的切应力表达式2020/1/1826单位：mm4，m4。AIApd2③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。4420221032d2dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO2020/1/1827对于空心圆截面：)1(10)1(32)(32d2d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd2020/1/1828④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。2020/1/1829⑤确定最大剪应力：pxIM由知：当max,2dR)2(22maxdIWWMdIMIdMptxpxpx令txWMmaxWt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1(4343D.DRIWpt2020/1/1830已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴3161671620045m=45mmπ4010..d例题9-175954995497162Nm100..xPMTnmax13111640MPaπxxPMMWdTT2020/1/1831已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。空心轴d2＝0.5D2=23mm32461671620046m=46mmπ1-4010..Dmax234221640MPaπ1xxPMMWDTT2020/1/1832确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28.15.01110461045122332222121＝DdAA2020/1/1833已知：P1＝14kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min360r/minr/min12361203113＝＝＝zznn解：1、计算各轴的功率与转速M1=T1=1114N.mM2=T2=557N.mM3=T3=185.7N.m2、计算各轴的扭矩例题9-232020/1/183416.54MPaPa1070π111416E9-31P1maxWT.69MPa22Pa1050π55716H9-32P2maxWT.98MPa12Pa1053π7.18516C9-33P3maxWT3、计算各轴的横截面上的最大切应力32020/1/18359.4承受扭矩时圆轴的强度设计和刚度设计9.4.1扭转试验与扭转破坏2020/1/18362020/1/1837扭转试验过程：2020/1/18389.4.2抗扭强度设计2020/1/18392020/1/18402020/1/18412020/1/18422020/1/18432020/1/18442020/1/18459.4.3扭转时的变形·刚度条件一、扭转时的变形由公式pxGIMxdd知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为值不变）若(dd0xpxlpxMGIlMxGIM2020/1/1846二、单位扭转角：(rad/m)ddpxGIMx/m)(180ddpxGIMx或三、刚度条件(rad/m)maxpxGIM/m)(180maxpxGIM或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[]称为许用单位扭转角。2020/1/1847刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：max][maxGTIp][maxpGIT有时，还可依据此条件进行选材。2020/1/1848[例3]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径][maxxtMW116D43）（tW314max][116）（xMD2020/1/1849314max][116）（xMD40NmxMx代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPxGIM2020/1/185040NmxT180maxmaxPGIT8911108018040324429.)(D③右端面转角为：弧度）(03304102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP2020/1/18512020/1/18522020/1/18539.5结论与讨论9.5.1关于圆轴强度与刚度设计圆轴是很多工程中常见的零件之一，其强度设计和刚度设计一般过程如下：根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加力偶时，需要画出扭矩图。根据轴的扭矩图，确定可能的危险面和危险面上的扭矩数值。计算危险截面上的最大切应