11.4中心对称

魔术师把4张扑克牌放在桌子上如图（1）所示，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某张牌旋转1800，魔术师解除面具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，你能吗？(1)(2)一个图形绕着中心点旋转180后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心.中心对称图形是旋转角为180的旋转图形。1.指出下列哪些图形是中心对称图形？随堂练习2.这些图形中有轴对称图形吗？随堂练习对比轴对称图形与中心对称图形：轴对称图形中心对称图形至少有一条对称轴——直线有一个对称中心图形沿对称轴翻折图形绕对称中心旋转180O翻折部分与另一部分重合旋转后与原图形重合3.下列图形是轴对称图形的有，是中心对称图形的有.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）随堂练习4.在英文大写字母中,轴对称图形有_____,中心对称图形有______.EHOSTZ5.下列图形中,即是中心对称图形又是轴对称图形的是()A圆B正方形C长方形D平行四边形随堂练习CBEDA把一个图形绕着某一点旋转1800，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心。两个图形的对应点,叫做关于中心的对称点.ACBEDA如图ABC与ADE是成中心对称的图形,___是对称中心,点B的对称点为点___,点C的对称点为点____,B、A、D在上，AD=A、E、C在__上，AC=___ED=____A在成中心对称的两个图形中:(1)连接对称点的线段都经过对称中心.(2)连接对称点的线段都被对称中心平分。ABCA’B’C’O判断两个图形是否成中心对称:如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称。ABCA’B’C’O练习5:如图所示，其中不是中心对称图形的是（）ABCD想一想ABCOFED例1:已知ABC和点O，如何画出DEF，使DEF和ABC关于点O中心对称。作法：（1）连接AO并延长AO到F，使OF=OA，于是得到点A的对称点F；（2）同样画出点B和点C的对称点E和D；（3）顺次连接DE，EF，FD。如图DEF即为所求的三角形练习6:如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A’B’C’,使△A’B’C’和△ABC关于点O成中心对称。ABCO解答：如图，连结AO并延长至A’，使OAOA’，则点A’为点A关于点O的对称点。同样可画出点B’、C’，连结A’B’、B’C’、C’A’，则A’B’C’即为所求。ABCA’B’C’O例2:如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O。ABCA’B’C’解法一：根据观察，B、B’应是对应点，连结BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点O即为所求（如图）ABCA’B’C’O解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两组对应点，连结BB’、CC’，BB’、CC’相交于点O，则点O即为所求（如图）。ABCA’B’C’规律总结：1、画一个点关于某点（对称中心）的对称点的画法是先连结这个点与对称中心并延长一倍即可。2、画一个图形关于某点的对称图形的画法是先画出图形中的几个特殊点（如多边形的顶点、圆的圆心等）关于某点的对称点，然后再顺次连结有关对称点即可。3、画圆关于某点的对称圆时，一般先确定这个圆的圆心和半径，画出圆心关于某点的对称点，然后以这个对称点为圆心，画同半径的圆即得到所要求作的圆。名称中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着某一个点旋转180,如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称，这个点叫做对称中心,两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点如果一个图形绕着一个点旋转180后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心性质①两个图形完全重合；②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分任何一条经过对称中心的直线都将一个中心对称图形分成两个形状大小完全一样的图形。区别①两个图形的关系②对称点在两个图形上①具有某种性质的一个图形②对称点在一个图形上联系若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。练习8:如果两图形关于某一点成中心对称，那么下列说法,正确的是______:①对称点的连线一定经过对称中心②对应线段一定相等且平行③将一个图形绕对称中心旋转某个定角必定与另一个图形重合④一定存在某直线，沿该直线折叠后的两个图形互相重合练习9:下列说法正确的是：（1）中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。（2）中心对称图形是指两个图形之间的一种对称关系。（3）中心对称和中心对称图形有一个共同的特点是它们都有且只有一个对称中心。（4）任何一条经过对称中心的直线都将一个中心对称图形分成两个形状大小完全一样的图形。（1）中心对称图形的定义和识别（2）两个图形成中心对称的定义和性质（3）作一个图形关于某一点的中心对称图形?今天你学到了什么?（4）直角坐标平面内关于原点对称的点、线段、三角形的画法及有关端点、顶点的坐标魔术师把4张扑克牌放在桌子上如图（1）所示，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某张牌旋转1800，魔术师解除面具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，你能吗？(1)(2)例3:如图所示，已知MNPQ，交点为O点，A1，A是以MN为轴的对称点，而A2，A是以PQ为轴的对称点，则点A1、A2关于点O成中心对称。你能说明其中的道理吗？1234ANPA2QMOA1精析与解答要说明A1、A2关于点O成中心对称的道理，只须判断点O是否是线段A1A2的中点即可，即判断OA1OA2，A1OA2180。由于点A1、A关于MN轴对称。故：OA1OA，12；同理，OAOA2，34故：OA1OA2又因为2390，故1234180所以，点O是线段A1A2的中点。这说明点A1绕O旋转180后与点A2重合。即A1、A2关于点O成中心对称。1234ANPA2QMOA1思考题1:如图是某种警示标记的一部分，它是一个中心对称图形，你认识它吗？请利用对称的知识补充图形的另一部分。（以A为对称中心）思考题2:如图△ABC中ABAC，E为AB上一点，F是AC的延长线上一点，EF交BC于D，DEDF，说明BECF的理由。ABCDFE由于EDDF，EDGCDF，可以把△CDF绕点D旋转180°到△GDE，则△CDF与△GDE关于点D成中心对称，根据中心对称的性质，可以得EGCF，EGDDCF，而已知ABAC，ACDBEGB，即△EBG为等腰三角形，所以EBEGCF。ABCDFEG思考题3:如下图，点A、B为河塘两对岸的两座村庄，为了测量两村庄间的距离，因条件限制，不能经过河塘直接测量。请你想一想，能否利用所学的知识来解决这个问题呢？AB解答：由于测量时不能经过河塘，这就需要将两点（村庄）在不改变AB两点之间的距离的情况下，移动到适当位置。首先在河塘岸边适当的位置取一点C（如下图），连接AC、BC（使保持AC、BC不经过河塘），分别将AC、BC延长到点A’、B’，使A’CAC，B’CBC；这样即是作线段AB关于点C的中心对称图形A’B’，根据中心对称的特征有A’B’AB，所以测出A’、B’两点间的距离，就是A、B两点间的距离，也即两村庄间的距离。ABCA’B’思考题4:两人轮流往一个圆形桌面上平放同样大小的硬币，每次一枚，但不允许任何两枚硬币有重叠部分，规定谁放下最后一枚，并使得对方没有再放的位置，就算是谁获胜。假如两个人都是内行，试问是先放者获胜，还是后放者获胜？怎样放才能稳操胜券？分析：设想桌面很小，仅与硬币同样大小，这时显然是先放者一定获胜。再设想桌面直径仅为硬币直径的2倍，这时，先放者为了获胜，肯定不会将硬币放的挨上圆桌边缘，只要他让硬币压上桌面中心，就使对方无法再放了。看来，桌面中心是个举足轻重的位置，值得认真对待，对于一般圆桌，设想甲先置一枚硬币于圆桌中心，待乙方置一枚硬币于桌面上A处后，甲在往A处，A处关于中心的对称位置放置一枚，这样轮流下去，只要乙有位置放，甲就也有。解：先放者获胜，操作办法是，第一枚硬币要放在桌面中心处，然后每次都往对方所放位置关于桌面中心的对称处放。思考题5:某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是：A.等腰三角形B.正三角形C.等腰梯形D.菱形思考题6:世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，如下图所示一石激起千层浪①方向盘②铜钱③它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称的性质。（1）请问以上三个图形中是轴对称图形的有______，是中心对称图形的有______（分别用上面三个图形的代号填空）。（2）请你在两个圆中，按下面要求分别画出与上述图案不重复的图案则（草图用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些、美观些）。①是轴对称图形但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形。解答：①②思考题7:如图有一个矩形纸片ABCD，AB10，AD6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）A.4B.6C.8D.10ABCDAECDABCDE解答：第一次折叠后△ADE的面积为边长为DE的正方形的面积的一半，第二次折叠后△CEF的面积为边长为CE的正方形的面积的一半，此时CEBDABAD1064ABCDAECDABCDE