定积分的概念与性质(精)

山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂第一节定积分的概念与性质三、定积分的性质一、定积分问题举例二、定积分的定义山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂一、定积分问题举例曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.如何计算其面积？abxyoy=f(x)x=bx=a在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积，如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是我们需要解决的问题。山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂1xix1ixayo解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似.在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limayo1xix1ixi山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂ix1ix1xi2x元素法1化整为零2以直代曲(以常代变)iiixfS)(3积零为整yxoy=f(x)1nxniiixfS1)(ab..分法越细，越接近精确值1.曲边梯形的面积f(i).山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂ix1ixi元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整niiixfS1)(iiixfS)(f(i)1.曲边梯形的面积山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂ix1ixi元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整niiixfS1)(iiixfS)(f(i)niiixf1)(limS=.S.ab1.曲边梯形的面积山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割:T1t0t1t2tn1tnT2,tititi1;(2)近似:物体在时间段[ti1,ti]内所经过的路程近似为Siv(i)ti(ti1iti);物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{t1,t2,,tn},物体所经过的路程为niiitvS1)(niiitvS10)(lim山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程niiixfS10)(lim许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，将其一般化，就得到定积分的概念.山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂1.定积分的定义(i1,2,,n),niiixf1)(作和max{x1,x2,,xn};在小区间[xi1,xi]上任取一点i记xi=xi-xi1(i1,,n),个分点:ax0x1x2xn1xnb;设函数f(x)在区间[a,b]上有界.极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和i的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为badxxf)(niiibaxfdxxf10)(lim)(即二、定积分的定义在区间[a,b]内插入n-1如果当0时,上述和式的此时称f(x)在[a,b]上可积.山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂2.函数的可积性定理1:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2:如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.1.定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)(二、定积分的定义根据定积分的定义曲边梯形的面积为badxxfA)(变速直线运动的路程为dttvSTT)(21山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂3.定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂解把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为nixi(i12n1)nxi1(i12n)niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniiinixi(i12n1)nxi1(i12n)niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nnniiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nnniiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii例1.利用定义计算定积分取,作积分和),2,1(ninii因为n1当0时n所以山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以例2用定积分的几何意义求211121)1(10dxx211121)1(10dxx211121)1(10dxx211121)1(10dxx山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂(1)当ab时0)(badxxf两点规定(2)当ab时abbadxxfdxxf)()(三、定积分的性质性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([性质1性质2性质2babadxxfkdxxkf)()(性质3性质3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂性质4性质4abdxdxbaba1badxxf0)((ab)推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则babadxxgdxxf)()((ab)如果在区间[ab]上f(x)0则性质5babadxxfdxxf|)(||)(|(ab)推论2这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|即babadxxfdxxf|)(||)(||山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则baabMdxxfabm)()()((ab)性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点,使下式成立这是因为,由性质6变形得baabfdxxf))(()(——积分中值公式由介值定理,至少存在一点[a,b],使badxxfabf)(1)(两端乘以ba即得积分中值公式.baMdxxfabm)(1山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂注:•可把)(d)(fabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例3估计积分的值dxx03sin31山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂解,sin)(xxxf]2,4[x2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx,0例4估计积分的值dxxx24sin)(xf在]2,4[上单调下降,,22)4()()2(2fxff,22422sin422124dxxx山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式山东农业大学高等数学主讲人：苏本堂作业：p-234习题5-12(1),3(2),(3),10(3),(4);13(1),(5)