机械制图中点的投影

2.3直线的投影教学目的：1.熟练掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性判别直线对投影面的相对位置。2.掌握直线上点的投影特性。3.掌握不同相对位置的两直线的投影特性。教学重点：1.特殊位置直线的投影特性。2.判断两直线的相对位置。教学难点：1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。2.3直线的投影2.3.1直线由平面几何得知，两点确定一条直线，故直线的投影可由直线上两点的投影确定。如图2-15所示，分别将两点A，B的同面投影用直线相连，则得到直线AB的投影。图2-15直线的投影2.3.2直线的投影特性1.直线对一个投影面的投影特性直线对单一投影面的投影特性取决于直线与投影面的相对位置，如图2-16所示。（1）直线垂直于投影面（图2-16（a））其投影重合为一个点，而且位于直线上的所有点的投影都重合在这一点上，这种特性称为积聚性。2.3直线的投影（2）直线平行于投影面（图2-16（b））其投影的长度反映空间线段的实际长度，即:ab=AB，这种特性称为真形性。（3）直线倾斜于投影面（图2-16（c））图2-16直线对一个投影面的投影特性其投影仍为直线，但投影的长度比空间线段的实际长度缩短了，即ab=ABcosα。这种特性称为类似性。2.直线在三投影面体系中的投影特性直线在三投影面体系中的投影特性取决于直线与三个投影面之间的相对位置。根据直线与三个投影面之间的相对位置不同可将直线分为三类:投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。2.3直线的投影（1）投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜的直线。其中，平行于H面的直线叫做水平线，平行于V面的直线叫做正平线，平行于W面的直线叫做侧平线。它们的投影特性见表2-1。表2-1投影面平行线的投影特性2.3直线的投影从表2-1可知投影面平行线的投影特性为:在其平行的投影面上的投影反映实长;且投影与投影轴的夹角分别反映直线对另外两个投影面的倾角的实际大小。另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度比空间直线段短。（2）投影面垂直线垂直于某一投影面，而与其余两个投影面平行的直线。其中，垂直于V面的直线叫正垂线，垂直于H面的直线叫铅垂线，垂直于W面的直线叫侧垂线。它们的投影特性见表2-2。表2-1投影面平行线的投影特性2.3直线的投影从表2-2可知投影面垂直线的投影特性为:①在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。②另外两个投影面上的投影反映空间线段的实长，且分别垂直于相应的投影轴。表2-2投影面垂直线的投影特性2.3直线的投影（3）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线（图2-17（a））。如图2-17（b）所示，一般位置直线的投影特性为:三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段对投影面的夹角，且三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。图2-17一般位置直线2.3直线的投影2.3.3直线上的点如图2-18所示，直线与其上的点有如下关系:（1）点在直线上，则点的投影必定在直线的同面投影上;（2）点在直线上，则点分割线段之比等于其投影之比。即ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″:c″b″=AC∶CB图2-18直线上的点2.3直线的投影1.求直线上点的投影【例2-2】如图2-19（a）所示，已知点K在直线AB上，求作它们的三面投]影。【解】由于点K在直线AB上，所以点K的各个投影一定在直线AB的同面投影上。如图2-19（b）所示，求出直线AB的侧面投影a″b″后，即可在ab和a″b″上确定点K的水平投影k和侧面投影k″。图2-19求直线上点的投影2.3直线的投影【例2-3】如图2-20（a）所示，已知点K在直线CD上，求点K的正面投影。【解】点K的正面投影k′一定在c′d′上，需确定k′在c′d′上的位置。可采用两种方法:一种方法是求出它们的侧面投影（作图略）;另一种方法如图2-20（b）所示，用分割线段成定比的方法作图。2.判断点是否在直线上判断点是否在直线上，一般只需判断两个投影面上的投影即可。如图2-21所示，可以判断出点C在直线AB上，而点D不在直线AB上（因d不在ab上）。但是当直线为投影面平行线，且给出的两个投影又都平行于投影轴时，则还需求出第三个投影进行判断，或用点分线段成定比的方法判断。图2-20求直线上点的投影图2-21判断点是否在直线上2.3直线的投影【例2-4】如图2-22（a）所示，已知侧平线AB及点M的正面投影和水平投影，判断点M是否在直线AB上。【解】判断方法有两种:（1）求出它们的侧面投影。如图2-22（b）所示，由于m″不在a″b″上，故点M不在直线AB上。（2）用点分线段成定比的方法判断。由于am∶mb≠a′m′∶m′b′，故点M不在直线AB上。图2-22判断点是否在直线上2.3直线的投影2.3.4两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种:平行、相交和交叉（异面）。1.两直线平行若空间两直线相互平行，则其同面投影必相互平行;若两直线的三个同面投影分别相互平行，则空间两直线必相互平行（图2-23）。图2-23两直线平行2.3直线的投影判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同名投影是否分别平行，如图2-23（b）所示。但是当两平行直线均平行于某一投影面时，只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如图2-24（a）所示（CD，EF为侧平线），虽然cd∥ef，c′d′∥e′f′，但求出侧面投影（图2-24（b））后，由于c″d″不平行于e″f″，故CD，EF不平行。在这种情况下，一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判断;另一种方法是利用平行两直线共面，其投影保持定比的规律进行判断。图2-24判断两直线是否平行2.3直线的投影2.两直线相交空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点符合点的投影规律。反之，如两直线的同面投都影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线在空间必相交。如图2-25所示，直线AB、CD相交于点K，其投影ab与cd，a′b′与c′d′分别相]交于k，k′，且kk′⊥OX轴。相交两直线的交点是两直线的共有点，因此交点应满足直线上点的投影特性。判断空间两直线是否相交，一般情况下，只需判断两组同面投影相交，且交点符合一个点的投影特性即可。但是，当两条直线中有一条为投影面平行线时，只有相对于另两投影面的两组同面投影相交，空间两直线不一定相交。图2-25两直线相交2.3直线的投影【例2-5】判断直线AB、CD是否相交（图2-26（a））。【解】由于AB是一条侧平线，所以根据所给的两组同名投影还不能直接确定两条直线是否相交。可用两种方法判断:（1）求出侧面投影。如图2-26（b），虽然a″b″、c″d″亦相交，但其交点不是点K的侧面投影，即点K不是两直线的共有点，故AB、CD不相交。（2）很明显，ak∶kb≠a′k′∶k′b′，故点K不在直线AB上，因此点K不是两直线的共有点，故AB、CD不相交。图2-26判断两直线是否相交2.3直线的投影3.两直线交叉既不平行又不相交的两条直线称为两交叉直线。如图2-27所示，直线AB和CD为两交叉直线，虽然它们的同面投影也相交了，但“交点”不符合一个点的投影特性。两交叉直线同面投影的交点是直线上一对重影点的投影，用它可以判断空间两直线的相对位置。在图2-27中，直线AB、CD的水平投影的交点是直线AB上的点Ⅰ和直线CD上的点Ⅱ（对H面的重影点）的水平投影1（2），由正面投影可知，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故在该处直线AB在直线CD的上方。同理，直线AB和直线CD的正面投影的交点是直线AB上的点Ⅳ和CD上的点Ⅲ（对V面的重影点）的正面投影3′（4′），由水平投影可知，点Ⅲ在前，点Ⅳ在后，故在该处直线CD在直线AB的前方。2.3直线的投影图2-27判断两直线是否交叉2.3直线的投影