值域(最值)问题常见类型及解法

讲座1、值域（最值）问题常见类型及解法函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，下面就这些方法逐一举例说明。一、直接法：【理论阐释】利用常见函数的值域来求：一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数ky(k0)x的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数2f(x)axbxc(a0)的定义域为R，当a0时，值域为{24|4acbyya-³}；当a0时，值域为{24|4acbyya-£}。求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②f(x)24x③xyx1奎屯王新敞新疆【解析】①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴函数y=3x+2的值域是[-1，5]。②∵4x[0,)，∴f(x)[2,)。即函数f(x)24x的值域是{y|y2}奎屯王新敞新疆③xx111y1x1x1x1，∵10x1，∴y1即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）奎屯王新敞新疆典例导悟二、配方法【理论阐释】利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域与最值。设函数21f(x)xx4，（1）若定义域为[0，3]，求f(x)的值域；（2）若定义域为[a,a1]时，f(x)的值域为11[,]216，求a的值.【解析】211f(x)(x)22，∴对称轴为1x2，（1）13x02，∴f(x)的值域为[f(0),f(3)]，即147[,]44；典例导悟（2）min1[f(x)],2对称轴1x[a,a1]2，1a312a122a12，∵区间[a,a1]的中点为01xa2，①当111a,1a222即时，2max111[f(x)]f(a1),(a1)(a1)16416，23916a48a270a(a44不适合，应舍去）；②当113a,a1222即时，max1[f(x)]f(a)16，221151aa,16a16a50a(a41644221151aa,16a16a50a(a41644不适合，应舍去）；综上，35aa44或.【理论阐释】判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论。三、判别式法（法）：求函数22x5x6yxx6的值域。【解析】方法一：去分母得(y1)2x+(y+5)x6y6=0①当y1时，∵xR，∴=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0，由此得(5y+1)20，此时y可取任意实数.检验：当1y5时，代入①求根，155x262()5典例导悟又由x2+x-6≠0得函数22x5x6yxx6的定义域为｛x|x≠2且x≠-3｝.∵2{x|x2且x-3}，∴1y5。再检验y=1代入①求得x=2，∴y1，综上所述，函数22x5x6yxx6的值域为{y|y1且y15}。方法二：把已知函数化为函数(2)(3)361(2)(3)33+xxxyxxxx(x2)，由603+x可得y1，∵当x=2时1y5，即1y5，∴函数22x5x6yxx6的值域为{y|y1且y15}。说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法。判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论。四、换元法：【理论阐释】当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个或几个新的量来代替原来的量，掌握它的关键在于通过观察、联想、发现并构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。求函数y2x3134x的值域。【解析】由于题中含有134x不便于计算，但如果令t134x，注意t0，从而得：221313,3(0)42ttxytt，变形得22y(t1)8(t0)。即(,4]y。典例导悟五、基本不等式法：【理论阐释】对形如（或可转化为）()bfxaxx，可利用22,22abababab求得最值。注意“一正、二定、三等”。典例导悟（2010·四川高考文科·Ｔ11）设0ab，则211aabaab的最小值是（）.（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】选D.211aabaab＝211()aabababaab＝11()2+2=4()abaababaab.当且仅当1,()1.abaab即22,2ab时，等号成立.典例导悟六、函数的单调性法：【理论阐释】在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。设函数()fx是奇函数，对任意x、yR均有关系式()()()fxyfxfy，若x0时，()0fx且(1)2f,求()fx在3,3上的最大值和最小值。【解析】先确定()fx在3,3上的单调性，设任意1x、23,3x且12xx，则210xx，212121()()()()()0fxfxfxfxfxx，即21()()fxfx。()fx在3,3上是减函数。因此()fx的最大值是(3)(3)(21)fff(1)(1)(1)6fff，()fx的最小值是(3)3(1)6ff.典例导悟七、数形结合法：【理论阐释】适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.求函数22f(x)x6x18x10x26的最小值。【解析】22f(x)x6x18x10x26=2222(x3)(03)(x5)(01)表示动点P(x,0)到定点A(3,3)，B(5,1)的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连接AB交X轴于一点，易证该点即是所求的P点。由题意及分析易得直线AB的方程为13yx22，令y0得x3即所求的P点为（3，0）。此时()fx的最小值是(3)45f。典例导悟八、求导法：【理论阐释】求函数最值的步骤：在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（x）在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：①求f（x）在（a，b）内的极值；②将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。（2010·重庆高考文科·Ｔ19）已知函数32()fxaxxbx（其中常数,ab∈R），()()'()gxfxfx是奇函数.（1）求()fx的表达式；（2）讨论()gx的单调性，并求()gx在区间1,2上的最大值与最小值.【解析】（1）因为32()fxaxxbx，所以2()32fxaxxb，所以()()'()gxfxfx322232axxbxaxxb32(31)(2)axaxbxb，因为()gx是奇函数，所以()()gxgx，即对任意x的都有3232(31)(2)(31)(2)axaxbxbaxaxbxb，典例导悟即22(31)20axb对任意x都成立，所以31=0a且20b，所以13a,0b,所以321()3fxxx.（2）由（1）可得31()23gxxx，所以2()2(2)(2)gxxxx,令()0gx，则2x或2x；所以当2x时，()0gx，函数()gx是减函数；当22x时，()0gx，函数()gx是增函数；当2x时，()0gx，函数()gx是减函数；综上可知，函数()gx在区间(,2)和(2,)上是减函数，在区间(2,2)上是增函数.函数()gx在区间[1，2]内有极值点2x，所以函数()gx的最大值与最小值只能在1,2,2x三点处取得，因为5424(1),(2),(2)333ggg，所以函数()gx的最大值是423，最小值是43.