二次型及其矩阵表示

第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示§5.2标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型§5.1二次型及其矩阵表示一、n元二次型二、非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结§5.1二次型及其矩阵表示§5.1二次型及其矩阵表示解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴(标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线问题的引入222faxbxycycossincossinxxyyxy22faxcy§5.1二次型及其矩阵表示代数观点下作适当的非退化线性替换只含平方项的多项式二次齐次多项式11111221211112211122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy(标准形)12(,,,)nfxxx§5.1二次型及其矩阵表示一、n元二次型1、定义设P为数域，称为数域P上的一个n元二次型（QuadraticForm）．①212111121211(,,,)22nnnfxxxaxaxxaxxn个文字的二次齐次多项式12,,,nxxx,,1,2,,,ijaPijn2222222nnaxaxx2333332nnaxaxx2nnnax§5.1二次型及其矩阵表示注意2.式①也可写成1.为了计算和讨论的方便,式①中写成2.ija.2),,,(11221njijiijniiiinxxaxaxxxfjixxji的系数§5.1二次型及其矩阵表示（1）约定①中aij=aji，ij，由xixj＝xjxi，有②2、二次型的矩阵表示212111121211(,,,)nnnfxxxaxaxxaxx2212122222nnaxxaxaxx21122nnnnnnnaxxaxxax.11ninjjiijxxa§5.1二次型及其矩阵表示111212122212.........nnnnnnaaaaaaAaaa令则矩阵A称为二次型的矩阵（matrix）.12(,,,)nfxxx)(nnPA§5.1二次型及其矩阵表示1112112122221212......(,,...,)...nnnnnnnnaaaxaaaxXAXxxxxaaa1121211(,,...,)njjjnjjnjnnjjjaxaxxxxax（2）令nxxxX21§5.1二次型及其矩阵表示于是有12(,,...,).nfxxxXAX1122111nnnjjjjnnjjjjjxaxxaxxaxninjjijixax11)(ninjjiijxxa11§5.1二次型及其矩阵表示注意2.二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具..AB若且，则XAXXBX,AABB1.二次型的矩阵总是对称矩阵，即.AA（这表明在选定文字下，二次型完全由对称矩阵A决定.)12(,,...,)nfxxxXAX12,,...,nxxx§5.1二次型及其矩阵表示练习1写出矩阵表示1.实数域R上的2元二次型3.复数域C上的4元二次型2.实数域R上的3元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537fxxxxxxxxxxxx2)12341214223(,,,35(3)fxxxxixxxxxixx§5.1二次型及其矩阵表示练习2写出下列二次型的矩阵1213231.422xxxxxx1123231352.(,,)246785xxxxxx2113.niijiijnxxx其中214.(),niixx11.niixxn§5.1二次型及其矩阵表示二、非退化线性替换1、定义是两组文字,关系式③1212,,,;,,,nnxxxyyy11111221211112211122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy,,1,2,...ijcPijn称为由的一个线性替换;1212,,,,,,nnxxxyyy到若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换(non-degeneratelineartransformation).§5.1二次型及其矩阵表示.0xy是非退化的.例1cossinsincosxxyyxy变换xy§5.1二次型及其矩阵表示2、线性替换的矩阵表示则③可表示为X=CY1112111222122212......,,...nnnnnnnncccxyxycccXYCxyccc令④若|C|≠0，则④为非退化线性替换.§5.1二次型及其矩阵表示3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型BCAC令————————————————||0CXCY12(,,...,)nfxxxXAX()BCACCACCACB又()YCACY()()CYACY12(,,...,)nYBYgyyy12(,,...,)nYBYgyyy是一个二次型.12,,,nyyy§5.1二次型及其矩阵表示三、矩阵的合同1.合同具有对称性（symmetry）：反身性（reflexivity）：注意1、定义设，若存在可逆矩阵,nnABP使，则称A与B合同(congruent).,nnCPBCACAEAE,||0BCACC11()()ACBC§5.1二次型及其矩阵表示3.与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.2.合同矩阵具有相同的秩.即C1C2可逆.1212||||||0,CCCC1212()()CCACC2112()DCCACC112212,,||0,||0BCACDCBCCC传递性（transitivity）:§5.1二次型及其矩阵表示2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与B合同.二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY原二次型矩阵是合同的.§5.1二次型及其矩阵表示例2证明：矩阵A与B合同，其中1122,iininAB,12,,,niii是1,2,,n的一个排列.§5.1二次型及其矩阵表示四、小结n元二次型：非退化线性替换：，或X=CY，|C|≠0.基本概念矩阵的合同：,.nnBCACCP可逆1211(,,,)nnnijijijfxxxaxxXAX(),ijnnAaAA11111221211112211122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy§5.1二次型及其矩阵表示基本结论1、二次型经过线性替换仍为二次型.3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY与合同，即存在可逆阵，使.ABnnPCACCB