高考数学总复习 第三章第7课时 正弦定理和余弦定理课件

第7课时正弦定理和余弦定理教材回扣夯实双基基础梳理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝_______________；b2＝_______________；c2＝_______________.b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝_____，b＝______，c＝______；sinA＝___，sinB＝___，sinC＝___；a∶b∶c＝__________________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.cosA＝_________；cosB＝_________；cosC＝_________.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22aba2Rb2Rc2R思考探究在△ABC中，“sinAsinB”是“AB”的什么条件？提示：充要条件．因为sinAsinB⇔a2Rb2R⇔ab⇔AB.课前热身1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．30°解析：选C.由正弦定理可得asinA＝bsinB，即43sin60°＝42sinB，∴sinB＝22，又∵a＞b，A＝60°，∴0°＜B＜60°，∴B＝45°.2．(2012·兰州调研)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3解析：选C.∵cosC＝13，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°＝ac，即a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则角A的大小为________．解析：因为sinC＝23sinB，所以c＝23b，于是cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝32，又A是三角形的内角，所以A＝π6.答案：π6考点探究讲练互动考点突破正弦定理的应用例1(2010·高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．【解析】∵sinB＋cosB＝2sinπ4＋B＝2，∴sinπ4＋B＝1.又0Bπ，∴B＝π4.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2×222＝12.又ab，∴AB，∴A＝π6.【答案】π6【题后感悟】利用正弦定理可以解决两类三角形问题：一是已知两边和其中一边的对角，可以求出另一边的对角，从而进一步求出其余的边和角；二是已知两角和任一边，可以求出其他的两边和一角．备选例题例(2011·高考安徽卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【解】由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，所以cosA＝12，所以sinA＝32.再由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝22.由ba知BA，所以B不是最大角，Bπ2，从而cosB＝1－sin2B＝22.由上述结果知sinC＝sin(A＋B)＝2232＋12.设边BC上的高为h，则有h＝bsinC＝3＋12.变式训练1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()A．23B．22C.3D.2解析：选D.∵asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴ba＝sinBsinA＝2.余弦定理的应用例2(2010·高考陕西卷)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．【解】在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.【题后感悟】利用余弦定理可以解以下两类三角形：一是已知两边及其夹角，求其余边角；二是已知三边求三角．由于上述三角形都是确定的，所以其解也是唯一的．对于已知两边和一边的对角求其他边角的三角形，也可使用余弦定理进行求解．备选例题例已知函数f(x)＝sin2x－π6＋2cos2x－1(x∈R)．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝12，2a＝b＋c，bc＝18，求a的值．【解】∵f(A)＝12，∴sin2A＋π6＝12.∵π6＜2A＋π6＜2π＋π6，∴2A＋π6＝5π6.所以A＝π3.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc.又因为2a＝b＋c，bc＝18，所以a2＝4a2－3×18，即a2＝18，a＝32.变式训练2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若ba＝2，c2＝b2＋3a2，求B.解：由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由ba＝2知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12.又cosB0，故cosB＝22，所以B＝45°.利用正、余弦定理判定三角形形状例3(2010·高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【题后感悟】判断三角形的形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．互动探究3．若本例条件变为：(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断三角形的形状．解：由已知得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，由0＜A＋B＜π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．备选例题例在△ABC中，已知a，b，c分别是角A、B、C的对边，若ab＝cosBcosA，试确定△ABC的形状．【解】由ab＝cosBcosA，得sinAsinB＝cosBcosA，∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．与三角形面积有关的问题例4在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．【解】(1)∵角A、B、C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45.∴C＝2π3－A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310，又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理，得a＝bsinAsinB＝65.∴S△ABC＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.【题后感悟】三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.备选例题例(2011·高考安徽卷)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．【解析】由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)cos120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S△ABC＝12×(10－4)×10×sin120°＝153.【答案】153变式训练4．已知向量a＝(sinωx，－cosωx)，b＝(3cosωx，cosωx)(ω＞0)，函数f(x)＝a·b＋12，且函数f(x)的图象中任意两相邻对称轴间的距离为π.(1)求ω的值；(2)已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f(C)＝12，且c＝219，△ABC的面积S＝23，求a＋b的值．解：(1)由题知，f(x)＝3sinωxcosωx－cos2ωx＋12＝32sin2ωx－12(cos2ωx＋1)＋12＝32sin2ωx－12cos2ωx＝sin2ωx－π6.∵函数f(x)的图象中任意两相邻对称轴间的距离为T2＝π，∴T＝2π，∴2π2ω＝2π，解得ω＝12.(2)由(1)知，f(x)＝sinx－π6，所以f(C)＝sinC－π6＝12.∵0＜C＜π，∴－π6＜C－π6＜5π6，故C－π6＝π6，即C＝π3.∵S＝12absinC＝12ab·32＝23.∴ab＝8，∴由余弦定理可得(219)2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.∴(a＋b)2＝76＋3ab＝76＋24＝100.∴a＋b＝10.方法技巧方法感悟1．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．3．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．失误防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测2013年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．典例透析例(本题满分12分)(2011