设计必修五课堂讲义2-5章末复习

知识网络第二章数列知识网络要点归纳题型研修高中数学·必修5·人教A版章末复习知识网络第二章数列知识网络要点归纳题型研修要点归纳第二章数列知识网络要点归纳题型研修1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．要点归纳第二章数列知识网络要点归纳题型研修2．求数列的通项(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．要点归纳第二章数列知识网络要点归纳题型研修(3)当已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．要点归纳第二章数列知识网络要点归纳题型研修3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；an＋1an＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a2n＋1＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列．要点归纳第二章数列知识网络要点归纳题型研修(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．要点归纳第二章数列知识网络要点归纳题型研修4．求数列的前n项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修题型一方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修例1已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a2＋a1＝21a1＋1a2，a3＋a4＋a5＝641a3＋1a4＋1a5.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋1an2，求{bn}的前n项和Tn.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修解(1)设{an}的公比为q，由已知得a1＋a1q＝21a1＋1a1qa1q2＋a1q3＋a1q4＝641a1q2＋1a1q3＋1a1q4⇒a21q＝2a21q6＝64∵a1＞0，∴q＝2，a1＝1.∴an＝2n－1.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修(2)bn＝an＋1an2＝a2n＋1a2n＋2＝4n－1＋14n－1＋2∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋4＋42＋…＋4n－1＋1＋14＋…＋14n－1＋2n＝1－4n1－4＋1－14n1－14＋2n＝13(4n－41－n)＋2n＋1.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修跟踪演练1记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.解设数列an的公差为d，依题设有2a1a3＋1＝a22，a1＋a2＋a3＝12，即a21＋2a1d－d2＋2a1＝0，a1＋d＝4.解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4.因此Sn＝12n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修题型二转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修例2已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列an＋λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式an.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修解(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列an＋λ2n为等差数列．设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修∴2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n＝12n＋1[(an＋1－2an)＋1]＝12n＋1[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列an＋λ2n为首项是2、公差是1的等差数列．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修(3)由(2)知，数列an－12n为首项是2，公差为1的等差数列．∴an－12n＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修跟踪演练2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．(1)解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修(2)证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修题型三函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修例3已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1nan＋3(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Snt36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修解(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，解得(d＝0舍)，d＝2.∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)bn＝1nan＋3＝12nn＋1＝121n－1n＋1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝121－1n＋1＝n2n＋1.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修假设存在整数t满足Snt36总成立，又Sn＋1－Sn＝n＋12n＋2－n2n＋1＝12n＋2n＋10，∴数列{Sn}是单调递增的．∴S1＝14为Sn的最小值，故t3614，即t9.又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修跟踪演练3已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N*，(1)求数列{an}的通项公式；(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修解(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，∴{an}是以23为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝23n＋13.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n53＋4n3＋132＝－49(2n2＋3n)．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修题型四数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修例4已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋10恒成立，试求m的取值范围．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修解(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.∴a2＋a4＝20，∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，解得q＝2，a1＝2或q＝12，a1＝32.又{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2.∴an＝2n.题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修(2)bn＝2n·log122n＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝21－2n1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.由Sn＋(n＋m)an＋10，题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋10对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋12－2n＋1，即m12n－1对任意正整数n恒成立．∵12n－1－1，∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．题型研修知识网络要点归纳第二章数列题型研修跟踪演练4(2013·绵阳二模)设数列{an}为单调递增的等差数列，a1＝1，且a3，a6，a12依次