高等数学 高斯公式

1高斯公式物理意义---通量与散度小结思考题作业fluxdivergence第六节高斯(Gauss)公式通量与散度高斯Gauss,K.F.(1777–1855)德国数学家、物理学家、天文学家2格林公式把平面上的闭曲线积分与本节的高斯公式表达了空间闭曲面上的曲面积分与曲面所围空间区域上的它有明确的物理背景—三重积分的关系.所围区域的二重积分联系起来.通量与散度.高斯(Gauss)公式通量与散度3一、高斯公式vzRyQxPΩd)(,围成由分片光滑的闭曲面设空间闭区域上在、、函数),,(),,(),,(zyxRzyxQzyxPSRQPd)coscoscos(yxRxzQzyPdddddd高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801–1861具有则有公式一阶连续偏导数,或高斯公式的整个边界曲面的是这里,cos,cos.),,(cos处的法向量的方向余弦上点是zyx外侧,高斯(Gauss)公式通量与散度4证明思路vzRyQxPd)(yxRxzQzyPdddddd分别证明以下三式,从而完成定理证明.yxzyxRvzRdd),,(dzyzyxPvxPdd),,(dxzzyxQvyQdd),,(d只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.高斯(Gauss)公式通量与散度5xyzOxyzO证),(:22yxzz:3xyDyxyxzzyxz),(),,(),(:21设空间区域Ω母线平行于z轴的柱面.),(:11yxzzvzRyQxPd)(yxRxzQzyPdddddd即边界面321,,由三部分组成:xyDxoy面上的投影域为在xyD(取下侧)(取上侧)(取外侧)nn柱面坐标轴的边界曲面与任一平行假设域.的直线至多相交于两点高斯(Gauss)公式通量与散度n6xyzOxyDnnn由三重积分的计算法xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12vzRd),(),(21dyxzyxzzzRyxxyDddyxzyxRxyDyxzyxzdd),,(),(),(21yxzyxRvzRdd),,(d投影法(先一后二法)高斯(Gauss)公式通量与散度7xyzOxyDnnn由曲面积分的计算法yxzyxRdd),,(1取下侧,2取上侧,3取外侧xyDyxyxzyxRdd)],(,,[1yxzyxRdd),,(yxzyxRdd),,(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[20123),(:22yxzz),(:11yxzzyxzyxRvzRdd),,(dyxzyxRdd),,(321yxzyxRdd),,(一投,二代,三定号高斯(Gauss)公式通量与散度8xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12yxzyxRdd),,(yxzyxRvzRdd),,(d于是xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12vzRd高斯(Gauss)公式通量与散度9zyzyxPvxPdd),,(d同理xzzyxQvyQdd),,(dvzRyQxPd)(合并以上三式得自己证yxzyxRvzRdd),,(d高斯公式yxRxzQzyPdddddd高斯(Gauss)公式通量与散度10高斯(Gauss)公式通量与散度若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把Ω分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消.因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正确的.11vzRyQxPd)(由两类曲面积分之间的关系知SRQPd)coscoscos(高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算.一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯(Gauss)公式通量与散度高斯Gauss公式的实质12xyzO解333,,zRyQxPzyxzyxIddd)(3222dddsin322rrr,32xxPrrRdsindd320004球例,dddddd333yxzxzyzyxI计算的为球面2222Rzyx,32yyQ23zzR5512R外侧.yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)(因Σ是闭曲面,可利用高斯公式计算.高斯(Gauss)公式通量与散度13使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清是对什么变量求偏导;RQP,,(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了的取向,注意是取闭曲面的外侧.vzRyQxPd)(高斯公式yxRxzQzyPdddddd高斯(Gauss)公式通量与散度14有时可作辅助面,(将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分,然后利用高斯公式.对有的非闭曲面的曲面积分,高斯(Gauss)公式通量与散度15coscoscos、、,d)coscoscos(222Szyx)0(0222hhzzzyx及介于平面锥面例计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.处在是),,(zyx为其中高斯(Gauss)公式通量与散度部分的解空间曲面Σ在xOy面上的,xyD曲面不是为利用高斯公式.投影域为xyzOnxyDh)(,:2221hyxhz,1取上侧1.1围成空间区域上在补构成封闭曲面,使用高斯公式.封闭曲面,1n16)ddd(2vzvyvxvzyxd)(2由对称性Szyxd)coscoscos(2221}0,),,({222hzzyxzyxzDyxddzzzhd220vzd2zzhd20342h00SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d)(zzhd20高斯(Gauss)公式通量与散度1nnxyzOhxyD先二后一法171d)coscoscos(222SzyxxyDyxhdd24h故所求积分为Szyxd)coscoscos(222.214h1cos,0cos,0cos1d2Sz)(,:2221hyxhz114421hh高斯(Gauss)公式通量与散度1nnxyzOhxyD4211hyxyxSdddd001d18利用高斯公式计算三重积分vzxyzxyId)(提示zRyQxP,,由于,0QP则zxyzxyzR222121xzyzxyzR,的边界面取以及是由平面其中1,0,0,0zzyx.122围在第一挂限内的立体圆柱面yx高斯(Gauss)公式通量与散度考虑到选取相当自由，19vzxyzxyId)(由高斯公式外yxzyxxyzdd])(21[2)(外的侧面由),(0:1下底面z故10220d)]cos(sin21cossin[d.2411)(轴的柱面母线平行于z,)(1:2构成上和上面z1)(21yx21yxdd]I极坐标,0QP222121xzyzxyzRxyDxy[高斯(Gauss)公式通量与散度20被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.如直接计算分析用高斯公式.例,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxIΣ是锥面22zyx4222zyx所围立体的表面1222zyx计算设f(u)是有连续的导数,计算和球面及外侧.高斯(Gauss)公式通量与散度xyzO21解由于,3xP,32xxP,3122yzyfzyQ2231zzyfzzR故由高斯公式vzyxId)(3222dddsin34rrrrd214).22(59340dsin=20d3球,13yzyfzQ,13zzyfyR高斯(Gauss)公式通量与散度xyzO22xyzO解(如图)221xzyyxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2)31(01yxyz是曲线其中.2恒大于计算曲面积分绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角01xyz绕y轴旋转高斯(Gauss)公式通量与散度n23xyzOzyxzRyQxPddd1zyxyyyddd)4418(yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2欲求vd:1补取右侧.11I221xzy有nn,3y高斯公式3120202dddyxzDxzyzx3122ddd222)2(:zxDzx柱坐标高斯(Gauss)公式通量与散度203d)2(2.22432)32(234yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(12求,3:1y补取右侧1zxDxzdd162)2(162222)2(:zxDzx00zxDxzdd)1(23故高斯(Gauss)公式通量与散度2111I251.通量为向量场设有一向量场kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:通量.fluxdivergence穿过曲面Σ这一侧的),,(zyxA高斯(Gauss)公式通量与散度二、物理意义通量与散度上式即为通量的计算公式yxRxzQzyPdddddd262.散度设有向量场),,,(zyxA为场中任一点,),,(zyxP在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,V以表示从内穿出的通量,若当,0VV即缩成P点时,极限VV0lim0limVPdydzQdzdxRdxdyV高斯(Gauss)公式通量与散度记为,divA散度.存在,则该极限值就称为向量场在P点处的A即Adiv0limVPdydzQdzdxRdxdyV27散度的计算公式kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(设RQP,,均可导,),,(zyxA在则点处的散度为zRyQxPAdivvzRyQxPd)(高斯公式yxRxzQzyPddddddAdiv.的边界曲面是空间闭区域其中散度：单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。28例向量场kzxjye