高等数学(上)复习

高等数学(上)总复习复习重点三个基本计算—极限,导数,积分两个基本应用—导数应用,积分应用一个基本理论—有关中值的定理及应用一、函数3.理解掌握有关函数的性质；要求2.要熟练掌握基本初等函数的定义域、值域及图形；1.理解函数定义，会求给定函数的定义域；2020/1/1951.定义.),(!,,,,上的函数为定义在则称映，记作与其对确定的法则如果按照某种为非空集设XfxfyYyXxfRYX2.常见定义域限制a.分母不等于0b.开偶次方根要求里面大于等于0c.对数函数真数大于0d.三角函数的定义域f.反三角函数的定义域tan:{xk}2cot:{xk}xxarcsin:22arccos:0arctan:)22xxx定义域[-1,1]值域[-,]定义域[-1,1]值域[,]定义域R,值域(-,221(1)211(2)arccos(4)2yxxxyLnx例求下列函数的定义域]2,2[]1,1[arcsin，值域为，定义域为反正弦函数xy周期单调递增，奇函数，无的反函数，在定义域上是xysin-1-0.50.51-1.5-1-0.50.511.53.三个反三角函数],0[]1,1[arccos，值域为，定义域为反余弦函数xy无周期单调递减，非奇非偶，的反函数，在定义域上是xycos-1-0.50.510.511.522.53)2,2(arctan，值域为，定义域为反正切函数Rxy22tanyyxy，下界奇函数，无周期，上界单调递增，的反函数，在定义域上是二、极限1.极限的计算(1)利用基本方法求极限函数的连续性;四则运算法则;极限存在准则;两个重要极限;等价无穷小替换;洛必达法则；(2)利用特殊方法求极限导数定义;定积分定义;微分中值定理;变限积分求导;讨论左右极限.泰勒公式.利用四则运算求极限定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设14例.531lim232xxxx求解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx)53(lim1limlim22232xxxxxx.373123利用四则运算求极限15解例.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21利用四则运算求极限16例.147532lim2323xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72利用四则运算求极限17小结:为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当利用四则运算求极限18例).21(lim222nnnnn求解是无穷小之和．时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.利用四则运算求极限19迫敛准则如果当),(00xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那么)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.注意:构造两端，要求极限易求，且极限要一样利用迫敛准则求极限20例).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1.1)12111(lim222nnnnn利用迫敛准则求极限21记住结果：11nnnlim)()(lim)(012aannnnnnn43212lim例解：nnnnn4443214444nnlim而44321nnnnnlim利用迫敛准则求极限利用两个重要极限求极限1sinlim0xxxexxx)11(lim0sinlim110lim(1)xxxe10lim(1)exxx52sinlim0xxx1sinlim利用两个重要极限求极限kxxx)11(limxxxx)11(lim24常用等价无穷小:,0时当x,~1,~)1ln(,~arctan,~tan,~arcsin,~sinxexxxxxxxxxxxaxaxln~1xx~1)1(2~cos12xx2~11xx利用等价无穷小求极限大规模杀伤性武器之一2532201121xxxxxsin)ln())(cos(lim324022xxxxxlnlim22ln例利用等价无穷小求极限26例.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意利用等价无穷小求极限27例.2sinsintanlim30xxxx求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0解,0时当x)cos1(tansintanxxxx,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错利用等价无穷小求极限函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)洛必达法则利用洛必达法则求极限大规模杀伤性武器之二例.求解:原式lim1x型00266lim1xxx23注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232xx利用洛必达法则求极限.sin2eelim0xxxxxx求)00(cos12eelimsin2eelim00型xxxxxxxxxx例为型，由洛必达法则有00解)00(sineelim0型xxxx.2coseelim0xxxx利用洛必达法则求极限例.计算解:200sindcoslim2xxxxx200dcoslimxxtt原式2x洛20coslimxxx2x21这是积分变量利用洛必达法则求极限型00例.求.sintanlim20xxxxx解:注意到～原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限例计算0lnsinlimlnxxx0cossinlim1xxxx0lim1tanxxx型34例解.lim2xxex求)0(xexx2lim原式2limxxe.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.),00()(型0.1步骤:,10.0100或其他形式未定式35例解).1sin1(lim0xxx求)(0101.0000xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型.2步骤:36步骤:型00,1,0.3ln01ln0ln01000取对数.0例解.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式xxxelnlim02011limxxxe0e.1xxxe1lnlim037例解.lim111xxx求)1(xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e例解.)(cotlimln10xxx求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式；记作高阶的无穷小是比，就说如果)(,0lim)1(o定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与就说如果C;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地，低阶的无穷小．是比，就说如果２lim)(2.无穷小的比较(A)1．(B)2。(C)3。(D)4。例.当时，0x)1ln()cos1(2xx)sin(nxx)sin(nxx12tanxen是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数为[]三、连续要求：1.掌握如何判断点的连续性0?0lim()()xxfxfx对于分段函数分界点，讨论00(0),(0)fxfx是否存在相等，是否等于0()fx？例.设时提示:为连续函数.0,0,sin)(21xxaxxxfx____,a)(xf(00),(00)0faf例.设解:因为x0时,F(x)可导,故连续,xx2lim0xxf2)(22)(xF,2)0(),,0[)(fCxf且问a取何值时F(x)连续?0,0,d)(2201xaxxttfxx)(0xFx时显然连续,.)(2连续时xFa00(00)lim()limxxFFxxaa0(00)lim()xFFx要求：2.掌握间断点分类可去间断点：跳跃间断点：第二类间断点：0000(0)(0)()fxfxfxx或处无定义00(0)(0)fxfx和都存在但不相等00(0)(0)fxfx和至少有一个不存在要求：3.零点定理应用定理.(零点定理)至少有一点且使例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有四、导数(2)计算复合函数的导数和微分;(3)计算隐函数的导数和微分;(4)参数方程求一阶导数;(1)用导数定义求特殊点的导数值;(5)计算n阶导数.(包括对数求导法)1.基本内容要求掌握例.)5tan()cos1(lim20xxfx)0(f0)0(f求极限，其中存在，。.例.设函数1,1,)(2xbaxxxxf在处x=1可导，求a和b.例.hahxfahxfh)()(lim0)('2xfa)('2xf设f(x)可导，a为常数，则(A);(B)0;(C);(D)等于（）.)('xf例解yeyx求),cos(ln])cos([lnxedxdy])[cos()cos(1xxee)()cos()sin(xxxeee).tan(xxeedy及例.已知解法1.,1xyeey1xyyeeyyey)1(1yeeyyx,10yx得由210ddxxy等式两边对x求导,得.0ddxxy求故解法2.等式两边取对数,得1lnxyy11yyy两边对x求导,得yyy1,10yx得由210ddxxy故需要熟悉的n阶导数()()(sin)sin()2(cos)cos()2nnnxxnxx11ln(1),ln(1),,11xxxx(n)()(