姜启源编《数学模型》第四版 第三章简单的优化模型

第三章简单的优化模型--静态优化模型3.1存贮模型3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4消费者的选择3.5生产者的决策3.6血管分支3.7冰山运输•现实世界中普遍存在着优化问题.•建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数.•求解静态优化模型一般用微分法.•静态优化问题指最优解是数(不是函数).简单的优化模型(静态优化)3.1存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费.该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.问题分析与思考•每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元.日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.•10天生产一次,每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元.•50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元.平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次,平均每天费用最小吗?每天费用5000元•这是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数——每天总费用的平均值.•周期短，产量小•周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小.4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用2~21QTccC每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rTcTcTCTC离散问题连续化20()dTcqtt一周期贮存费为A2221rTccrTQ=QT/222QTc模型求解min2)(21rTcTcTC求T使d0dCT212crcrTQ212rccT模型解释QTc,1QTc,2QTr,定性分析敏感性分析参数c1,c2,r的微小变化对T,Q的影响T对c1的(相对)敏感度111/Δ/Δ),(ccTTcTS11ddcTcT21c1增加1%,T增加0.5%S(T,c2)=–1/2,S(T,r)=–1/2c2或r增加1%,T减少0.5%经济批量订货公式（EOQ公式）212rccT212crcrTQ•用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型模型应用T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)•回答原问题c1=5000,c2=1，r=100每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2,T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.思考:为什么与前面计算的C=950元有差别?允许缺货的存贮模型ABOqQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失.原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货).现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足.T1rTQAc2Bc3周期T,t=T1贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期贮存费120()dTcqtt一周期缺货费13()dTTcqttTCQTC),(0,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用(,)minCTQ求T,Q使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T´,Q记作Q´.允许缺货的存贮模型rTQrTcrTQcTc2)(223221212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT,13cQQTT,332212'cccrccT323212'ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型OqQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）332212ccccrcTrRQ~不允许缺货时的产量(或订货量)QQR存贮模型•存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础,也有实际应用.•建模中未考虑生产费用,为什么?在什么条件下可以不考虑(习题1)?•建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计),如果生产能力有限(大于需求量的常数),应作怎样的改动(习题2)?3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.问题市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售?如果估计和预测有误差，对结果有何影响?分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.trtgttQ4)80)(8()(求t使Q(t)最大rggrt240410天后出售，可多得利润20元.建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8–gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R–C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660640g=0.1=pw–4t敏感性分析研究r,g微小变化时对模型结果的影响.估计r=2，g=0.1rggrt2404•设g=0.1不变5.1,6040rrrtt对r的（相对）敏感度rrttrtS/Δ/Δ),(ddtrrt3604060),(rrtS生猪每天增加的体重r变大1%，出售时间推迟3%.1.522.5305101520rt敏感性分析估计r=2，g=0.1rggrt2404研究r,g微小变化时对模型结果的影响.•设r=2不变15.00,203gggtt对g的（相对）敏感度Δ/d(,)Δ/dtttgStggggt32033),(ggtS生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%.0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售.由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算.wwpp,,,研究r,g不是常数时对模型结果的影响.w=80+rtw=w(t)p=8–gtp=p(t)若(10%),则（30%）2.28.1w137t0)(tQ每天收入的增值每天投入的资金4)()()()(twtptwtpttwtptQ4)()()(利润3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).•损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.•救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小.•关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积dB/dt(森林烧毁的速度).模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度).2）t1tt2,降为–x(为队员的平均灭火速度).4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3.假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比.面积B与t2成正比dB/dt与t成正比xbtt12220d()ddtBBttt模型建立ddBtbOt1tt2x假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数——总费用)()()(21xfxfxC假设3）4）xttt112假设2）)(222212212xttbtd0dCxxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小231221122ctctcx结果解释/是火势不继续蔓延的最少队员数其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数ddBtbOt1t2xt模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c2xc1,t1,xc3,x结果解释231221122ctctcxc1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?,可设置一系列数值由模型决定队员数量x3.4消费者的选择背景消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱，选择购买若干种需要的商品.根据经济学的一条最优化原理——“消费者追求最大效用”，用数学建模的方法帮助消费者决定他的选择.•假定只有甲乙两种商品供消费者购买，•建立的模型可以推广到任意多种商品的情况.当消费者购得数量分别为x1,x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u(x1,x2)度量，称为效用函数.效用函数利用等高线概念在x1,x2平面上画出函数u的等值线,u(x1,x2)=c称为等效用线等效用线就是“实物交换模型”中的无差别曲线，效用就是那里的满意度.Ox2u(x1,x2)=cx11l2l3lc增加——一族单调减、下凸、互不相交的曲线.效用最大化模型p1,p2~甲乙两种商品的单价,y~消费者准备付出的钱x1,x2~购得甲乙两种商品数量QABy/p2y/p1···x1x2几何分析x2u(x1,x2)=cx1O1l2l3lc增加u(x1,x2)=c单调减、下凸、互不相交.在条件p1x1+p2x2=y下使效用函数u(x1,x2)最大.AB必与一条等效用线相切于Q点(消费点).Q(x1,x2)唯一.消费线AB模型求解yxpxpxxu221121s.t.),(max引入拉格朗日乘子λ构造函数)(),(),,(22112121xpxpyxxuxxL0,021xLxL与几何分析得到的Q一致2112d/dxuuxxx等效用线u(x1,x2)=c的斜率消费线AB的斜率21/pp21,2,12121ppxuxuxxxx2121ppxuxu结果解释效用函数的构造等效用线u(x1,x2)=c所确定的函数x2(x1)单调减、下凸.•解释条件中正负号的实际意义222221212120,0,0,0,0uuuuuxxxxxx充分条件当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大.21,xuxu~边际效用——商品数量增加一个单位时效用的增量0,,)(.1121xxu效用函数u(x1,x2)几种常用的形式,212211ppxpxp•购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比,比例系数是参数α与β之比的平方根.•u(x1,x2)中参数,分别度量甲乙两种商品对消