第一节空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积介绍

新课标高考总复习·数学新课标高考总复习·数学新课标高考总复习·数学考纲要求：1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．新课标高考总复习·数学3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求)．5．了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆)．新课标高考总复习·数学1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个的三角形棱台棱锥被平行于的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台平行公共顶点底面新课标高考总复习·数学(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线圆锥直角三角形一直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线球半圆或圆直径所在的直线新课标高考总复习·数学2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：、、．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的方、方、方观察几何体的正投影图．正视图侧视图俯视图虚线正前正左正上新课标高考总复习·数学3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度；平行于y轴的线段在直观图中长度为．斜二侧45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半新课标高考总复习·数学4．空间几何体的表面积与体积表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝V＝名称几何体Sh13Sh4πR243πR3新课标高考总复习·数学[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()新课标高考总复习·数学(5)斜二测画法中，原图形中的平行垂直关系在直观图中不变．()(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(7)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√(7)×新课标高考总复习·数学2．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．答案：五棱柱三棱柱新课标高考总复习·数学3．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是________．答案：①②新课标高考总复习·数学4．已知空间几何体的三视图如图，则该几何体是由__________________组合而成．答案：圆柱和正四棱柱新课标高考总复习·数学5．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C­A′DD′，则棱锥C­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为________．答案：1∶5新课标高考总复习·数学6．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶31∶1新课标高考总复习·数学[典题1](1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()新课标高考总复习·数学(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()ABCD新课标高考总复习·数学(3)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()新课标高考总复习·数学(4)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()新课标高考总复习·数学[听前试做](1)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．(2)A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.新课标高考总复习·数学(3)当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C.新课标高考总复习·数学(4)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22.答案：(1)B(2)D(3)C(4)A新课标高考总复习·数学(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．新课标高考总复习·数学空间几何体的表面积和体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，多与三视图相结合命题，也可能单独命题．新课标高考总复习·数学角度一：空间几何体的表面积[典题2](1)(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋3B．2＋3C．1＋22D．22新课标高考总复习·数学(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1B．2C．4D．8新课标高考总复习·数学[听前试做](1)根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3.新课标高考总复习·数学(2)如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2.答案：(1)B(2)B新课标高考总复习·数学(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．新课标高考总复习·数学角度二：空间几何体的体积[典题3](1)(2015·新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()新课标高考总复习·数学A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛(2)(2015·新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15新课标高考总复习·数学(3)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.23B.33C.43D.32新课标高考总复习·数学(4)(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2[听前试做](1)设米堆的底面半径为r尺，则π2r＝8，所以r＝16π，所以米堆的体积为V＝14×13π·r2·5＝π12×16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．新课标高考总复习·数学(2)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15.新课标高考总复习·数学(3)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝32，则△BHC中BC边的高h＝22.新课标高考总复习·数学∴S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，∴V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.(4)由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝13π6.答案：(1)B(2)D(3)A(4)B新课标高考总复习·数学(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．新课标高考总复习·数学与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：角度一：正方体的外接球[典题4]一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．新课标高考总复习·数学[听前试做]依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝23(R为球的半径)，∴R＝3，∴球的体积V＝43πR3＝43π.答案：43π新课标高考总复习·数学角度二：直棱柱的外接球[典题5](2016·抚顺模拟)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310新课标高考总复习·数学[听前试做]如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.答案：C新课标高考总复习·数学角度三：正四面体的内切球[典题6]若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.[听前试做]设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π.答案：63π新课标高考总复习·数学角度四：四棱锥的外接球[典题7]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4新课标高考总复习·数学[听前试做]如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且