材料力学考试典型题目

例题5图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.试求：（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图（2）杆的最大正应力max（3）B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图F1FN1)(kN2001N1N1FFFF2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD)(kN1502N2N21FFFFFRDFN3)(kN5003NR3NFFFDFN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（2）杆的最大正应力maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD)(MPa.N817611AFAB)(MPa.N67422AFBC)(MPa.N511033AFDCmax=176.8MPa发生在AB段.（3）B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDm102.53Δ4-N111EAlFlABm101.42Δ4-N222EAlFlBCm101.58Δ4-N333EAlFlCD-0.3mmΔΔBCCDBllumm10-0.47ΔΔΔΔ4-CDBCABADllll例题5图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa，DB=1°.试求：（1）AD杆的最大切应力;（2）扭转角CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：画扭矩图计算外力偶矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me1π180)2(pepeGIaMGIaM（1）AD杆的最大切应力MPa7.69tmaxmaxWTmkN292eM（2）扭转角CA33.2π180)23(pepeGIaMGIaMCBBACAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例题5如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解:列出梁的剪力方程和弯矩方程)0()()0()(SlxFxxMlxFxF0SFA左FFA右SFSxFxM例题6图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.解：（1）求支反力2RRqlFFBAlqFRAFRBABx（2）列剪力方程和弯矩方程.)0(222)()0(2)(2RRSlxqxqlxxqxxFxMlxqxqlqxFxFAA剪力图为一倾斜直线绘出剪力图)0(2)(SlxqxqlxFx=0处，x=l处,2SqlF2SqlF+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB弯矩图为一条二次抛物线)0(222)(2RlxqxqlxxqxxFxMAlqFRAABxFRB00Mx，0,Mlx令()d0d2Mxqlqxx得驻点2lx弯矩的极值822maxqlMMlx绘出弯矩图+82qll/2由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上FS=0两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+82qll/282maxqlM2maxSqlF解:（1）求梁的支反力例题7图示的简支梁在C点处受集中荷载F作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCabFRAFRBlFbFARlFaFBR因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.将坐标原点取在梁的左端将坐标原点取在梁的左端AC段CB段xxlFABCabFRAFRB)2()0()()1()0()(SaxxlFbxMaxlFbxF)4()()()()()3()()()(SlxaxllFaaxFxlFbxMlxalFalblFFlFbxF由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线.)1()0()(SaxlFbxF)3()()(SlxalFaxFxxlFABCabFRAFRB+lFblFa)4()()()(lxaxllFaxM)2()0()(axxlFbxM+lFba由（2），（4）式可知，AC、CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.xxlFABCabFRAFRB+lFbalFblFa+解：求梁的支反力例题8图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.RAMFlRBMFl将坐标原点取在梁的左端.因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程()()()S01MFxxlllABCabFRAFRBM由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线.+MlAC段CB段AC段和BC段的弯矩方程不同xxlABCabFRAFRBM()MMxxl)0(ax()()MMMxxMlxll)(lxaAC,CB两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.x=a,CMaMl左x=0,0MAC段CB段x=a,CMbMl右x=l,M=0+MalMbl梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.lABCabFRAFRBM+/Ml+MalMbllABxFw例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角maxwmax（1）弯矩方程为解：（2）挠曲线的近似微分方程为xlwABxF对挠曲线近似微分方程进行积分()()(1)MxFlx()(2)EIwMxFlFx21(3)2FxEIwFlxC2312(4)26FlxFxEIwxCC梁的转角方程和挠曲线方程分别为21(3)2FxEIwFlxC2312(4)26FlxFxEIwxCC边界条件0,00,0xwxw将边界条件代入（3）（4）两式中,可得1200CC22FxEIwFlx2326FlxFxEIwBwmaxmaxxlyAF（）222max|22xlFlFlFlEIEIEI都发生在自由端截面处maxmaxw和（）3max|3xlPlwwEI例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其maxmaxw和ABql解:由对称性可知,梁的两个支反力为RR2ABqlFFABqlFRAFRBx2()22qlqMxxx2346qlqEIwxxC222qlqEIwxx341224qlqEIwxxCxD此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为233(64)24qlxxlEI233(2)24qxwlxxlEI边界条件x=0和x=l时,0wxABqlFRAFRBAB在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为3max24ABqlEIwmax在梁跨中点处有最大挠度值4max25384lxqlwwEI例题3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.ABFDabl解:梁的两个支反力为RAbFFlRBaFFlFRAFRBABFDabl12xx两段梁的弯矩方程分别为1R(0)AbMFxFxxal2()()bMFxFxaaxll两段梁的挠曲线方程分别为（a）（0xa）挠曲线方程11bFxEIwMl转角方程2112bxEIwFCl挠度方程31116bxEIwFCxDl挠曲线方程22()bFxFxaEIwMl转角方程2222()22bFxaxFEIwCl挠度方程33222()66bFxaxFxEIwCDl（b）（axl）D点的连续条件边界条件在x=a处12ww12ww在x=0处,10w在x=l处,20w代入方程可解得:120DD2212()6FbCClblABFDabl12FRAFRB22211()36FbwlbxlEI2221][6FbxlwbxlEI2222221[()]()23Fbl'xawxlblEIb33222[()]()6FblxxawxlblEIb（a）（0xa）（b）（axl）将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当ab时,右支座处截面的转角绝对值为最大10()|6AxFablblEI2()|6BxlFablalEImax()6BFablalEI简支梁的最大挠度应在处0w'先研究第一段梁,令得10w22211()036Fb'wlbxlEI221(2)33lbaabx当ab时,x1a最大挠度确实在第一段梁中12223max()0064293xxFbPblw|lb.wEIlEI梁中点C处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.222(34)0.062548CFbFblwlbEIEI12223max()0064293xxFbFbly|lb.wEIlEI例题7空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外径D=140mm,内外径之比α=d/D=0.8,材料的许用应力[]=160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度ABCD15kN10kN0.8mABFＭe解:（1）外力分析将力向AB杆的B截面形心简化得mkN156.0104.115eMkN25FAB杆为扭转和平面弯曲的组合变形ABFMe+15kN·m（2）内力分析－画扭矩图和弯矩图固定端截面为危险截面-20kN·mmkN20maxMmkN15T)1(32π43DW][MPa26.157223rWTM2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler’sFormulaforOtherEndConditions)lFcr2l()2cr22EIFlFcrl0.3l0.7l(.)2cr207EIFlFcrl2cr2EIFl—长度因数l—相当长度欧拉公式22cr)(πlEIFlFcrl/4l/4l/2(/)2cr22EIFll两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况临界力的欧拉公式长度因数=1=0.7=0.5=2欧拉公式的统一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（为压杆的长度因数）22crπlEIF22cr)7.0(πlEIF22cr)5.0(πlEIF22cr)2(πlEIF22cr)(πlEIF2.临界应力总图scrσσbaσcr22crπEσcrσ12Pσsσ例题2图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?dF1.3aBF1.6aCaFA解：A杆先失稳.杆Aal22杆Bal3.11