材料力学能量法

材料力学中南大学土木建筑学院1一、外力功与应变能1、外力功W载荷在其作用点位移上所作的功。(1)常力作功FAFBDW=FDMqW=MqM弹性固体的应变能材料力学中南大学土木建筑学院2DFDFdDF对于一般弹性体0dWDDFF—D图下方面积(2)静载作功静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。材料力学中南大学土木建筑学院3对于线弹性体DFFD12DWF2、应变能Ve弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）即Ve=WF为广义力，D为与力对应的广义位移。材料力学中南大学土木建筑学院4二、线弹性体的应变能1、轴向拉压FFDlDl22N1222FlFlVWFlEAEAeDFN为变量时2N()d2lFxVxEAelFFllEADF材料力学中南大学土木建筑学院5Me2、扭转jjMeMe22eePP1222MlTlVWMGIGIejT为变量时2P()d2lTxVxGIeePMlGIj材料力学中南大学土木建筑学院63、平面弯曲ddMxEIq横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当l/b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3﹪。1ddMxEIq纯弯曲21dd22MxVWMEIeq2()d2lMxVxEIe横力弯曲M(x)为变量dq材料力学中南大学土木建筑学院7应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。材料力学中南大学土木建筑学院8DF从零逐渐增加到最终值，变形亦缓慢增加最终值。F一、能量法利用能量原理解决力学问题的方法。可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。第十章能量法§10.1概述二、外力功与应变能1、外力功W载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。材料力学中南大学土木建筑学院9弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。2、应变能三、功能原理条件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性）（2）静载荷——可忽略弹性体变形过程中的能量损失。原理：外力功全部转化成弹性体的应变能。Ve=W材料力学中南大学土木建筑学院10x解：①建立坐标系③求外力功W和应变能VewA12AWFw222300d()d226llMxFxxFlVEIEIEIe23126AFlFwEI3()3AFlwEI②列弯矩方程M=－Fx（0≤x＜l）lFBA已知：EI=常数，用功能原理计算A点的挠度。仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，其它位移的求解有待进一步研究功能原理。材料力学中南大学土木建筑学院11图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。①由平衡方程，通过功能原理导出变形几何方程；②由平衡方程结合功能原理求出各杆内力。FABCDl解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。由功能原理有（1）311223311()22FlFlFlFlDDDD由平衡方程和对称条件有（2）1212FFllDD，132cosFFF（3）（2）、（3）代入（1）得31cosllDD变形几何方程Dl1Dl32223312coscosFlFlFlFlFEAEAEAEA（1）考虑物理方程得（2）、（3）代入上式并化简得得231cosFF几何方程和物理方程的联立材料力学中南大学土木建筑学院12Fi为集中力，Di为该力作用点沿力方向的线位移；Fi为力偶，则Di为该力偶作用面内沿力偶转向的角位移（转角）。Di简称为与力Fi(相)对应的位移。§10.2互等定理Fi——广义力（集中力，力偶）Di——广义位移（线位移，角位移）一、外力功的计算材料力学中南大学土木建筑学院13对于一般弹性体0dWDDFF—D图下方面积静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。外力功属于静载作功。DFDFdDF对于线弹性体DFFD12DWFF为广义力，D为广义位移。材料力学中南大学土木建筑学院14外力功的数值与加载顺序无关，只与载荷与位移的最终数值有关。加载顺序：F1,F2,…Fi，…F2,F1,…Fj，………………不同时加载，加载顺序不同，外力功不变。二、外力功与变形能的特点如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现什么结果？按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还能守恒么？——反证法！材料力学中南大学土木建筑学院15F1F2F2F1先加F1后加F2先加F2后加F1不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。材料力学中南大学土木建筑学院16即D1=d11F1+d12F2+…+d1iFi+…+d1nFn……Di=di1F1+di2F2+…+diiFi+…+dinFn……其中dij是与载荷无关的常数。注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理线弹性体上，作用有载荷F1,F2,…Fi,…Fn与外力方向相应的位移为D1,D2,…Di,…Dn由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数材料力学中南大学土木建筑学院17设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷在位移增量上所作的元功为：dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn*=lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn)=(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl外力作的总功为：1110111(++++)d111++++22212iinniinnniiiWFFFFFFFDDDllDDDD材料力学中南大学土木建筑学院18设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最终值。即任一时刻各载荷的大小为：F1*=lF1,F2*=lF2,…Fi*=lFi,…Fn*=lFn其中l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。加载过程中，任一时刻的位移为：D1*=d11F1*+d12F2*+…+d1iFi*…+d1nFn*=lD1……Di*=di1F1*+di2F2*+…+diiFi*…+dinFn*=lDi……注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所以是变数，随着l的变化而变化。材料力学中南大学土木建筑学院19112niiiVWFeD线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其对应位移乘积之半的总和。F1F2FiD1D2Di图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下的位移。D1既有F1的作用，也有F2，Fi的作用。所以Clapeyron原理不符合叠加原理。材料力学中南大学土木建筑学院20注意1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体；2、Di尽管是Fi作用点的位移，但它不只是Fi一个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即它是i点实际的总位移；3、Di是Fi对应的位移，Fi为集中力，Di则为线位移，Fi为集中力偶，Di则为角位移；4、FiDi为正时，表明Fi作正功，Di与Fi方向（或转向）相同；为负则表示Di与Fi方向（或转向）相反。材料力学中南大学土木建筑学院21据Clapeyron原理，微段dx上dxTFNM()N222NP111ddddd222ddd222VWFlMTFxMxTxEAEIGIeqjD组合变形整个杆件的应变能为()()()222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe材料力学中南大学土木建筑学院22位移命名位移D的第一个下标表示某点处的位移，第二个下标表示由那点的力引起的位移。FiijDiiDjiFjijDijDjjDii和Dij第一个下标i表示i点的位移，第二个下标i和j分别表示是由i点和j点的力引起的位移，Dji和Djj亦可以类推得到。四、功的互等定理(线弹性体)材料力学中南大学土木建筑学院2312iiiWFD12jjjiijFFDD先加Fi后加FjjFiiDiiDji外力功为外力功W与加载顺序无关，改变加载顺序可得到相同的外力功。DiiFiDijDjiDiFiODjFjOFjDjjFjDijDjj材料力学中南大学土木建筑学院24先加FjjFjiDijDjj外力功为12jjjWFD后加Fi12iiijjiFFDD先加Fi后加Fj外力功为1122iiijjjiijWFFFDDDWWiijjjiFFDDDiFiODjFjOFjDjjDijDiiFiDjiFiDiiDji材料力学中南大学土木建筑学院251122iiijjjiijWFFFDDDiijjjiFFDD11112222iiijjjiijiijFFFFDDDD11112222iiijjjiijjjiFFFFDDDD11()()22iiiijjjjjiFFDDDDClapeyron原理1122iijjFFDD外力功和变形能不符合叠加原理材料力学中南大学土木建筑学院26线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。FiijDiiDjiFjijDijDjj功的互等定理注：力系、位移均为广义的。iijjjiFFDD材料力学中南大学土木建筑学院27抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。CqlwEI45=384解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为w(x)。挠曲线与原始轴线围成的面积()dwlAwxx第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC。45384CwFwFlAqEI[d()]CwlFwqxwxqA由功的互等定理材料力学中南大学土木建筑学院28装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理求C处的约束力。ABCFal解：解除C处约束的工件可简化为悬臂梁，F、FC作为第一组力。悬臂梁在C处加单位力1作为第二组力。FCABC1alwBwC()2323()326BlaaalaawEIEIEI33ClwEI第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）。0BCCFwFw()2332CFaFlal材料力学中南大学土木建筑学院29图示静不定结构由于铰链A的装配误差，使A，B两点分别有位移dA和dB。在结构A点的新位置（无装配应力位置）重新安装铰链后，在B点作用一向下的载荷F，求此时铰链A的约束力（设结构保持线弹性）。ABdAdBFABFAFA1解：第一种情况下，A处的约束力为FA1，第二种情况下，A处的约束力为FA。由功的互等定理有100AABAFFFddAABFFdd材料力学中南大学土木建筑学院30若Fi=Fj=F则Dij=Dji线弹性体上作用在j处的一个力引起i处的位移，等于它作用在i处引起j处的位移。五、位移互等定理功的互等定理iijjjiFFDDlbhFFlbhFF图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线弹性状态，求杆件的伸长Dl。解：沿杆件轴线加相同的一对力FhFhhEEbhbEDFlhbEDD下图中材料力学中南大学土木建筑学院31Dij=DjiFijDij力F作用在j点FijDji力F作用在i点位移互等定理材料力学中南大学土木建筑学院32位移互等定理——单位力FiDij=FjDjidij=dji1ijdij单位力1作用在j点1ijdji单位力1作用在i点若Fi=Fj=1(无量纲)称为单位力材料力学中南大学土木建筑学院33位移互等定理注意：(功、位移)互等定理只适用于线弹性小变形体。作用在j处的单位力引起i处的位移，等于作用在i处的单位力引起j处的位移。dij=djiAB1llAB122BABlEIdq1[]力22ABAlwEId1[]力dBAdAB材料力学中南大学土木建筑学院34广义力1作用在中点ABC1qAClA