第二章 极限与连续第一节 数列的极限(略)

第二章极限与连续第一节数列的极限(略)()xxfx一.和时函数的极限第二节函数的极限oxyxy1xx有些函数当和时有确定的变化趋势，如10xyx时，10xyx时，oxyxye)1,0(xxye时，0xxye时，sinxyx时，不趋向于任何常数()(,),()()lim().xfxaxfxAfxxAfxA设函数在有定义，如果当无限增大时无限接近于常数，则称函数当时以常数为极限，记为定义：()(,),()()lim().xfxbxfxAfxxAfxA设函数在有定义，如果当无限增大时无限接近于常数，则称函数当时以常数为极限，记为同理：(),()()lim().xfxxMxfxAfxxAfxA设函数在有定义，如果当无限增大时无限接近于常数，则称函数当时以常数为极限，记为定义：lim()lim()lim()xxxfxAfxfxAoxyxy110xyx时，10xyx时，11limlim0xxxx1lim0xxoxyxye)1,0(xxye时，0xxye时，limxxelim0xxelimxxe不存在二、时，函数的极限0xx()fx定义：如果当时，函数无限接近于常数，即，则称时，函数以常数为极限，记为：()fxA0xx()fx0xx()0fxAA0lim()xxfxA000xxxxx所谓，即趋于但不等于000lim()()xxfxfxxx那么，在定义时，只要求函数在左右两侧有定义，并不要求在点有定义。00lim()()xxfxfxx即存在与否与函数在处是否有定义无关！0xx-3-2-112342.557.51012.515xy11223yxx22(1)lim(23)11xxx-1-0.50.510.511.522.5xye0(2)lim1xxe2sin201(1)lim(23);(2)lim;(3)limln(9);(4)limxxxxxxxxxex例1：求下列极限211(5)lim1xxx1-11231234211xyx2345-0.20.20.40.60.8sinxyx-2-11232.12.22.32.4ln(9)yx1(3)limln(9)ln10xxsin(4)lim0xxx211lim21xxx21(5)111xxxx时，ln102以上几个都是有定义且有极限的情况此例是无定义而有极限的情况-0.4-0.20.20.4-1-0.50.51xy(6)如果，求1()cosfxx0lim()xfx0lim()xfx不存在11cos0yxx此例是有无定义也无极限的情况11,1(),lim()1,122xxxfxfxxx设：求例oxy11211()xfx当从点的左边无限趋于时，趋于1.51.511()xfx当从点的右边无限趋于时，趋于21lim()xfx故不存在此例是有定义而无极限的情况三．函数在点的左右极限()fx0x0xx定义：如果当从的左边趋于时，函数无限接近于常数，则称常数为在处的左极限，记为：()fxAx()fxA00lim()(0)xxfxAfxA或0x0x0x同理：如果当从的右边趋于时，函数无限接近于常数，则称常数为在处的右极限，记为：()fxBx()fxB00lim()(0)xxfxBfxB或0x0x0xyox1xy12yx210()0xxfxxx如函数0lim()xfx-0lim(1)1xx-0lim()xfx+20lim0xx+极限存在的充分必要条件：000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA函数在点极限存在的充分必要条件式是左右极限存在并且相等。()fx0x例3：设函数，试讨论在处的极限．21,12,1xxfxxx1x解：1limxfx1limxfx1x是分段函数的分段点，1lim21xx21lim10xx1lim()xfx不存在例4：讨论函数在处极限．1xfxe0x解：10xx当时，10lim0xxe此时10xx当时，10limxxe此时10limxxe不存在第三节无穷小量与无穷大量1.定义:极限为零的变量称为无穷小量.一、无穷小量与无穷大量如,0sinlim0xxsin0.xx函数是当时的无穷小量,01limxx1.xx函数是当时的无穷小量注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.定义当（或）时，函数的绝对值无限的增大，则称函数在当（或）时为无穷大量，记为0xx0xxxx()fx0()lim()xxxfx01limxx例如：；11lim1xx1100“”，“”定理:无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大.即:2.无穷小的运算性质:(1)在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.20sinxxx如时，和都是无穷小量20lim(sin)0xxx(2)有限个无穷小的乘积也是无穷小.20sinxxx如时，和都是无穷小量20lim(sin)0xxx(3)常数与无穷小的乘积是无穷小.0lim3sin0xx如(4)有界变量与无穷小的乘积是无穷小.21,0,sinxxx例如当时是无穷小量，是有界变量201lim(sin)0xxx定义：若两个无穷小量，之比的极限则称是的高阶无穷小量。uxvxlim0uxvxuxvx203lim0xxx203xxx时，是的高阶无穷小3.无穷小的比较:定义：若两个无穷小量，之比的极限则称和为等价无穷小量，记为uxvxlim1uxvxuxvx~uxvx第四节．极限的四则运算法则一极限的四则运算法则定理lim(),lim(),(1)lim[()()];(2)lim[()()];()(3)lim,0.()fxAgxBfxgxABfxgxABfxABgxB设则其中推论1lim(),,lim[()]lim().fxccfxcfx如果存在而为常数则常数因子可以提到极限记号外面.lim(),,lim[()][lim()].nnfxnfxfx如果存在而是正整数则推论2lim(),lim()fxgx该法则成立的前提是：都存在23031023031lim(23)2lim(7sin4cos)3lim4lim(1)(5)lim(1)ln(10)xxxxxxxxxxxxex（）；（）；（）；（）；例5:求下列极限解:23lim(23)xxx2333limlim2lim3xxxxx2333(lim)2limlim3xxxxx2323318一般地:101(),nnnfxaxaxa设多项式函数则有nnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf02lim(7sin4cos)xxx（）007limsin4limcosxxxx7041403lim1xxe（）01limln(10)ln10xxex0limln(10)ln100xx34lim(1)1123xx（）333lim(1)283xx2(5)lim(1)1xx10102lim(1)11xx2(lim0)xx二、计算有理分式极限的运算法则（1）计算有理分式在极限的运算0xx2222222122(1)lim;(2)lim;(3)lim322xxxxxxxxxxxx例6：求下列极限22(1)lim(21)11xxx解:2lim(3)10xx222111lim1131xxxx222(2)lim2xxxx因为分母的极限为0，而分子极限为8()()(),()PxPxQxQx设、都是多项式则称为有理分式222(3)lim2xxxx222lim(2)0,lim(2)0xxxxx所以极限的四则运算法则不能用22(2)(1)xxxx但是2222(2)(1)limlim22xxxxxxxx2lim(1)xx3从而可以总结出下列规律：0()(),PxQxx设、都是多项式为有限数，则当时，（代入即可）0()0Qx000()()lim()()xxPxPxQxQx=00()0,()0PxQx0()lim()xxPxQx=当时，00()0,()0PxQx0()lim()xxPxQx=当时，约去零因子0()xx后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）22221232252(1)lim;(2)lim54372xxxxxxxxxx例7：利用上面的规律求下列极限解:22132lim54xxxxx22(1)(1)13126,(1)15140PQ22(2)(2)225220,(2)327220PQ分子分母分解因式22252(21)(2),372(31)(2)xxxxxxxx2222252(21)(2)limlim372(31)(2)xxxxxxxxxx2(21)lim(31)xxx35（2）计算有理分式在极限的运算x222222142(1)lim;(2)lim;(3)lim5424xxxxxxxxxxx例8：求下列极限解:由于当时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在x所以极限的四则运算法则不能用在分子分母中同时除以的最高次幂，可化为极限存在的情况x2222212221(1)limlim54541xxxxxxxxxx2002100222414(2)limlim122xxxxxxx222122(3)limlim441xxxxxxx0从而可以总结出下列规律：0,0,nmabmn当和为非负整数时有110110,,lim0,,,,nmnnnnmmxmmanmbaxaxanmbxbxbnm当当当()()PxQx设、分别是n次和m次多项式，则445236221(1)(12)(1)lim;(2)lim54(13)(12)xxxxxxxxxx例9：利用以上规律求下列极限42221(1)lim54xxxxx解:4536(1)(12)(2)lim(13)(12)xxxxx59369(2)lim(3)2xxx536(2)(3)2311(3)(2)54课堂练习1、求下列极限222211321(1)lim;(2)lim;(3)lim2111xxxxxxxxxxx21310(4)lim;(5)lim25xxxxexx