中考数学锐角三角函数专题复习

锐角三角函数◆考点聚焦1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，这也是本节的重点和难点．2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值．3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值．4．已知三角函数值会求出相应锐角．5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点．◆备考兵法充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆．◆识记巩固1．锐角三角函数的定义：如图，在Rt△ABC中，∠=90°，斜边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则sinA=______=_______；cosA=______=_______；tanA=______=_______．2．填表：30°45°60°sincostan注意：30°，45°，60°的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记．3．锐角三角函数间的关系：（1）互为余角的三角函数间的关系：sin（90°-）=____，cos（90°-）=_____．（2）同角三角函数的关系：①平方关系：sin2+cos2=_______；②商数关系：sincos=_______．注意：对于互为余角的锐角三角函数关系，要求学生能利用定义，结合图形进行理解，并能灵活运用公式；对于同一锐角三角函数的关系，仅让学生了解，不作中考要求．4．锐角三角函数值的变化：（1）当为锐角时，各三角函数值均为正数，且0sin1，0cos1，当0°≤≤45°时，sin，tan随角度的增大而_______，cos随角度的增大而_______．（2）当0°45°时，sin_____cos；当45°90°时，sin______cos．识记巩固参考答案1．A的斜边斜边acA的邻边邻边bcAA的对边的邻边ab2．12223232221232133．（1）cossin（2）①1②tan4．（1）增大减小（2）◆典例解析例1（2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（l）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．【解】（1）∵BF=CF，∠C=030，∴∠FBC=030，∠BFC=0120又由折叠可知∠DBF=030∴∠BDF=090（2）在Rt△BDF中，∵∠DBF=030，BF=8∴BD=43∵AD∥BC，∠A=090∴∠ABC=090又∵∠FBC=∠DBF=030∴∠ABD=030在Rt△BDA中，∵∠AVD=030，BD=43∴AB=6．6.（2011湖北襄阳，19，6分）先化简再求值：412)121(22xxxx，其中160tanx.【答案】原式12)1()2)(2(212xxxxxxx················2分当13160tanx时，·····················3分原式13333113213.6分例2已知为锐角，且tan=22，则代数式12sincoscos=______．解析方法一：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan=22，令a=2，b=2，则此时c=6．∴sin=ac=26=33，cos=2b=63．∴原式=23632212(21)3333366633=(21)3321223262．方法二：∵tan=sincos=22．∴2sin=cos2．又∵sin2+cos2=1．∴2223cos2cos12sincos12cos2coscoscos=2322(21)2122()22222．方法三：∵tan=sincos=22，sin2+cos2=1．∴原式=222(sincos)sin2sincoscossincos||coscoscos=|tan-1|=|22-1|=222．答案222例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．解析过点B作BE⊥AD，交AD延长线于E．∵∠C=90°，∴sinB=ACBA=35．∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，∴AB=10，BC=8，∴BD=2．∵∠ADC=45°，∴∠BDE=45°，∴DE=BE=22BD=2．又∵在Rt△ACD中，AD=DC=62，∴AE=72，∴tan∠BAD=272BEAE=17．点评要求∠BAD的正切值，首先得将∠BAD转化到某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键．真题1.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为A．12B．13C．14D．24【答案】B1232.（2011江苏苏州，9,3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于BACDEABCC’B’A.43B.34C.53D.54【答案】B3.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC的面积为A．83B．15C．93D．123【答案】C4.如图，△ABC中，cosB＝22，sinC＝53，则△ABC的面积是（）456A．221B．12C．14D．21【答案】A5.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为().A．12B．34C．32D．45【答案】C6.在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立．．．的是（）（A）tanA·cotA=1（B）sinA=tanA·cosA（C）cosA=cotA·sinA（D）tan2A+cot2A=1【答案】D7.如果△ABC中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形【答案】C8.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为A．2B．12C．55D．2558910【答案】B9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是()A．513B．1213C．512D．135【答案】A10．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=A．1B．2C．12D．52【答案】B二、填空题1.如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=13【答案】105°2.等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.【答案】13.（如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.【答案】124.在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________.【答案】125·三、解答题1.计算：20113015(1)()(cos68)338sin602.【答案】解：解:原式31813382……………………………………………4分83…………………………………6分2.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=31,求tan∠EBC的值.FEDCBA【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=∠C=90°∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE∴∠BFE=∠C=90°∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°又∠AFB+∠ABF=90°∴∠ABF=∠DFE∴⊿ABE∽⊿DFE(2)解：在Rt⊿DEF中，sin∠DFE=EFDE=31∴设DE=a,EF=3a,DF=22DEEF=22a∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,∠EBC=∠EBF又由（1）⊿ABE∽⊿DFE，∴BFFE=ABDF=aa422=22∴tan∠EBF=BFFE=22tan∠EBC=tan∠EBF=223.已知α是锐角，且sin(α+15°)=32。计算10184cos(3.14)tan3的值。【答案】由sin(α+15°)=32得α=45°原式=2224113324.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°=。（2）对于0°A180°，∠A的正对值sadA的取值范围是。（3）如图②，已知sinA35，其中∠A为锐角，试求sadA的值。【答案】（1）1（2）0sadA2（3）设AB=5a，BC=3a，则AC=4a如图，在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E。则DE=AD·sinA=4a·35=125a，AE=AD·cosA=4a·45=165aCE=4a－165a=45a2222412410555CDCEDEaa∴sadA105CDAC1、据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此AABCCB图①图②ACBDE车从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒＝11200小时），并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）．（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）答案：解：设该轿车的速度为每小时v千米∵AB＝AO－BO，∠BPO＝45°∴BO＝PO＝0.1千米又AO＝OP×tan59°＝0.1×1.6643∴AB＝AO－BO＝0.1×1.6643－0.1＝0.1×0.6643＝0.06643即AB≈0.0066千米而3秒＝11200小时∴v＝0.06643×1200≈79.716千米/小时∵79.716＜80∴该轿车没有超速．2、如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长．(结果保留根号)答案：解：过M作MN⊥AC交AC于点N,设MN=x．……………1分由题意∠EAM=300,∠EAC=600∴∠MAC=∠EAC－∠EAM=600－300=300∠MCA=1800－600－600=600[∴在△AMC中，∠M=1800－∠MAC－∠ACM=900……………2分在Rt△AMN中，tan∠MAN=tan300=33ANxANMNAN=x3……………3分在Rt△MCN中，tan∠MCN=tan600=3CNxCNMNCN=x33……………4分∴AC=AN+NC[来源:中.考.资.源.网]綦江重庆lPABOEFENBCA2000333xx1500360003