矩阵特征值

矩阵的特征值及特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法说明.,0.1言的特征值问题是对方阵而特征向量x.0,0,.2的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵AEAxEAAn一、特征值与特征向量的概念.,,,,1的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义AxAxAxxnnA0.3EA0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa次方程为未知数的一元称以n0EA.的为A特征方程,,次多项式的它是n记EAf称其.的为方阵A特征多项式则有的特征值为阶方阵设,,,,.421nijaAn;)1(221121nnnaaa.)2(21An解例1.3113的特征值和特征向量求A的特征多项式为A31131)3(2)2)(4(682.4,221的特征值为所以A,00231123,2211xx对应的特征向量应满足时当.0,02121xxxx即,21xx解得.111p取为所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212xxxx即由时当.11,221pxx取为所以对应的特征向量可解得例２.201034011的特征值和特征向量求矩阵A解,)1()2(2010340112EAA的特征多项式为.1,2321的特征值为所以A由解方程时当.0)2(,21xEA,0000100010010140132~EA,1001p得基础解系.2)0(11的全部特征值是对应于所以kpk由解方程时当.0)(,132xEA,000210101101024012~EA,1212p得基础解系.1)0(322的全部特征值是对应于所以kpk例３设,314020112A求A的特征值与特征向量．解314020112EA,2)1(202)1(2令.2,1321的特征值为得A由解方程时当.0,11xEA,000010101414030111~EA,1011p得基础解系的全体特征向量为故对应于11).0(1kpk由解方程时当.02,232xEA,0000001141140001142~EA得基础解系为：,401,11032pp:232的全部特征向量为所以对应于).0,(323322不同时为kkpkpk例４证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则x.)1(是任意常数的特征值是mAmm.,)2(11的特征值是可逆时当AA证明xAx1xAxxAAxAxxA22再继续施行上述步骤次，就得2mxxAmm.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxA可得由xAxxAxAAxA111xxA11,0,2可逆时当A.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA.,,,,,,,.,,,,,,,121212121线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理mmmmppppppmA证明使设有常数mxxx,,,21.02211mmpxpxpx则,02211mmpxpxpxA即,0222111mmmpxpxpx类推之，有.0222111mmkmkkpxpxpx1,,2,1mk二、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得11221112211111,,,mmmmmmmpxpxpx0,,0,0于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i,0,,0,0,,,2211mmpxpxpx.,,2,10mjpxjj即,0jp但.,,2,10mjxj故.,,,21线性无关所以向量组mppp注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为,,,2121AxxAxxAx21,xx21,021x,021由于,0x则.与定义矛盾例5设A是阶方阵，其特征多项式为n0111aaaAEfnnnA.的特征多项式求AT解AEfTAT0111aaannnTAEAE三、特征值与特征向量的求法求矩阵特征值与特征向量的步骤：;det.1EAA的特征多项式计算;,,,,0det.221的全部特征值就是的全部根求特征方程AEAn.,0,.3的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值iiixEA四、小结.,0det,2,0A3Edet:4的一个特征值求满足条件阶方阵设AAEAAAT思考题思考题解答知由可逆故因为0)3det(.,0detEAAA解,3的一个特征值是A.311值的一个特征是从而A即得又由,16)2det()det(2EAAEAATT,4det,0det,4det,16)(det2AAAA因此但于是.34有一个特征值为故A5、3相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念.,.,,,,,111的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对行运算进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA1.等价关系..22111211PAPPAPPAAP.,.3为正整数相似与则相似与若mBABAmm二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似与AA.,相似与则相似与若ABBA.,,相似与则相似与相似与若CACBBA反身性)1()2(对称性传递性)3(证明相似与BAPEPAPPEB11PEAP1PEAP1.EAPAPkPAPkPAkAkP21211122111.4.,21是任意常数其中kkBAPPP1,使得可逆阵.,,1的特征值亦相同与从而式相同的特征多项与则相似与阶矩阵若定理BABABAn推论若阶方阵A与对角阵nn21.,,,,21个特征值的即是则相似nAn利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110Ak的多项式AEaAaAaAaAnnnn1110)(.)(1PBP.1PBPk则PEaBaBaBaPnnnn11110)(PPB1PPB1PPB1PPB1k个,,1为对角矩阵使若可逆矩阵特别地APPP,1PPAkk则.)()(1PPA有对于对角矩阵,,21knkkk,)()()()(111利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.)(A.)(,)(OAfAf则的特征多项式是矩阵设定理证明.与对角矩阵相似的情形只证明A使则有可逆矩阵与对角矩阵相似若,,PA),,,(11ndiagAPP.0)(,iifA的特征值为其中有由,1PPA)(Af.1OPPOPPf1)(PffPn11)()(.,,,1对角化这就称为把方阵为对角阵使若可找到可逆矩阵阶方阵对AAPPPAn证明,,1为对角阵使假设存在可逆阵APPP.,,,21npppPP用其列向量表示为把三、利用相似变换将方阵对角化.)(2个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理nAAAnnnnppppppA212121,,,,,,即.,,,2211nnpppnnApApAppppA,,,,,,2121.,,2,1nipApiii于是有nppp,,,211,,1PAPAPP得由.,的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见iiiApPA.,,,,21线性无关所以可逆又由于npppP命题得证..,,,,PAPPnnnA使阵个特征向量即可构成矩这个特征向量得并可对应地求个特征值恰好有由于反之说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论nAAn如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．AAnnA例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？242422221)1(A201335212)2(A解EA由)1(7220242422221.7,2321得得方程组代入将,02121EA04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系.110,10221,0,73xEA由对求得基础解系2,2,13T,0211210102由于.,,321线性无关所以.,3化可对角因而个线性无关的特征向量有即AA,同理201335212EA31201335212)2(A.1321的特征值为所以A,01xEA代入把解之得基础解系,)1,1,1(T故不能化为对角矩阵.A163053064A设A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例2.1为对角阵使APP解163053064EA212.2,1321的全部特征值为所以A得方程组代入将0121xEA063063063212121xxxxxx解之得基础解系,0121.1002解系得方程组的基础代入