3.2.1古典概型

3.2.1古典概型我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为古典概型一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.e1,e2,…，eN,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个基本事件(或者说所有可能结果)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的所有可能结果如i=2称这种试验为有穷等可能随机试验或古典概型.定义1若随机试验满足下述两个条件：(1)它的所有可能结果只有有限多个基本事件；(2)每个基本事件出现的可能性相同.二、古典概型中事件概率的计算记A={摸到2号球}P(A)=?P(A)=1/10记B={摸到红球}P(B)=?P(B)=6/10223479108615132456这里实际上是从“比例”转化为“概率”记B={摸到红球}P(B)=6/10静态动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.23479108615这样就把求概率问题转化为计数问题.定义2设试验E是古典概型,其所有可能结果S由n个基本事件组成,事件A由k个基本事件组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.A包含的基本事件数P(A)＝k/n＝S中的基本事件总数排列组合是计算古典概率的重要工具.提问：1、怎样的一类随机试验称为古典概型？2、如何计算古典概型中事件的概率？为什么这样计算？三、古典概率计算举例例1把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：CISNCEE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词SCIENCE的情况数为故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.42200079.012601!74p解：七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.解：=0.3024允许重复的排列问：错在何处？例2某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.计算所有可能结果基本事件总数和所求事件所含基本事件数计数方法不同.从10个不同数字中取5个的排列510510Pp510510Cp例3设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？nNknMNkMBP)(次品正品……M件次品N-M件正品解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为而出现事件A的分法数为n!,故nnn2)!2(!2!2!2)!2()!2(2!2/)!2(!)(nnnnAPnn例4n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各所有可能结果或基本事件是等可能的.在实际应用中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全地”等可能是很难见到的．1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.需要注意的是：在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为所有可能结果是等可能的并在此基础上计算事件的概率.例1:掷两颗均匀骰子，求出现点数之和是8的概率．答案：P=5/36解:掷一颗骰子，有6个等可能的结果，掷两颗骰子，有6·6=36个等可能结果，设X为第一颗骰子掷出的点数，Y为第二颗骰子掷出的点数．A={X+Y=8},只有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）．评分赌金问题有一天，德梅尔和赌友保罗赌钱，他们事先每人拿出6枚金币作为赌金，用扔硬币的方式进行赌博，一局中若掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜．约定谁先胜三局谁就得到所有的12枚金币．已知他们在每局中取胜的可能性是相同的．比赛开始后，保罗胜了一局，德梅尔胜了两局．这时一件意外的事情中断了他们的赌博，后来他们也不想再赌了，于是一起商量如何分12枚金币．你知道怎样分吗？至多再赛两局就可以比出两局就可比出结果．2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？正确的答案是：410252815)(AP请思考：还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.“分球入箱”问题设有n个球，每个都以相同的概率1/N(Nn)落入N个箱子中的每一个中．根据以下条件，分别求事件A={某预先指定的n个箱子中各有一球}的概率p.条件：1.球编号，每个箱子容纳的球数不限．2.球编号，每个箱子只容纳一个球．3.球不编号，每个箱子只容纳一个球．4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限．以n=3,N=4为例计算．“分球入箱”问题1.球编号，每个箱子容纳的球数不限．因为每个箱子容纳的球数不限，所以这是一个可重复的排列问题．34!3p323“分球入箱”问题2.球编号，每个箱子只容纳一个球．这是一个选排列问题．34!3Pp41246“分球入箱”问题3.球不编号，每个箱子只容纳一个球．这是一个组合问题．341Cp41“分球入箱”问题4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限201p总情况数为：按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（两端不算）个，三个球在4个箱子中的一种分布就对应于三个球在这6个位置上的一种占位法，共有2036C3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.旅客车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天你还可以举出其它例子，留作课下练习.我们介绍了古典概型.古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型.箱中摸球分球入箱随机取数分组分配早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能基本事件的古典方法是不够的.把等可能推广到无限个基本事件场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.几何方法的要点是：1、设所有可能结果S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S);2、向区域S上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.3、设事件A是S的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为)()()(SAAP（*）4、假如所有可能结果S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把理解为长度或体积即可.)(实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，即使是有限个，也未必是等可能的.而几何方法的正确运用，有赖于“等可能性”的正确规定.