投影与直观图直观图

北师大必修2·§1.2投影与直观图知识探究（一）：中心投影与平行投影1.光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.2.我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.AAAADCBADCBADCB中心投影ADCB平行投影中心投影ADCB中心投影平行投影ADCB平行投影中心投影ADCB平行投影中心投影ADCB平行投影中心投影ADCB平行投影正投影中心投影ADCB平行投影正投影中心投影ADCB平行投影正投影中心投影ADCB平行投影斜投影正投影中心投影在平行投影中，投影线正对着投影面叫做正投影，否则叫做斜投影平行投影与中心投影有什么区别？平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一点出发的．绘画时经常使用中心投影，但立体几何中很少使用中心投影原理来画图。常用平行投影来画图。一、平行投影1)点的平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任一点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，则M’叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影.（2）图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投射线。探究一：问题:1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:(1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平行投影，线段与它的投影的大小关系为.(2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其平行投影，线段与它的投影的大小关系为.(3)铁丝垂直于射影面(铁丝不一定要与投射面有公共点)，按如图所示投射线，指出其平行投影.平行于投射面的正方形在平行投影下的投影形状完全不变，相当于把正方形在平行光线下“平移”到了地面．平行于投射面的正方形的平行投影是什么？探究二：探究二：2．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上，在地面形成什么图形？二：平行投影的性质：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段;2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线；3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度的比。2.两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）（A）两条平行线.（B）一点和一条直线（C）两条相交直线（D）两个点A1.直线的平行投影可能是（）（A）点（B）线段（C）射线（D）曲线D例1：下列说法正确的是________．②③①直线或线段的平行投影仍为直线或线段②与投射面平行的平面图形，其投影与这个图形一定全等③平行四边形的平行投影可能是矩形④两平行直线的平行投影一定平行⑤如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米，则长为10米的线段，其平行投影的长为5米2.将一个水平放置的平面图形画在纸上,怎样画才有立体感呢?1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?(立体图形)想一想感受立体图1.太阳光线(假定太阳光线是平行的)把一个长方形形状的窗框投射到地板上，变成了什么图形？问题提出影子与窗户之间有区别吗？1.窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何关系或几何量发生了变化？哪些没有发生变化？B’A’M’ABMPP’问题提出直观图平面图直观图:表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.如何画空间图形的直观图?斜二测画法归纳总结（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使，它确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．斜二测画法的步骤：xOy=45135或小结：“横同，纵半，平行性不变”045例1画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．例题解析例1画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．例题解析OCAB:画法如下,ABC第一步在已知的正三角形中,.ABxCOy取所在的直线为轴取对称轴为轴0``,```45.xyxOy画对应的轴、轴使```,``,``1/2.xOAOAOBOByOCOC第二步在轴上取在轴上取例1.画水平放置的正三角形的直观图.``,``,```.ACBCABCABC第三步连结所得的三角形就是正三角形的直观图应用举例:画出水平放置的直角梯形的直观图x′y′C′ABCDxyA′B′D′OABCDEF/OOxGHy/x/y/D/H/G/A/B/C/E/F/A/B/C/E/F/D五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.例题解析例2画水平放置的正六边形的直观图.探究五画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”：（1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改变？（2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观图中平行关系是否改变？（3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度在直观图中是否改变？例3画正五棱锥的直观图.OxyABCDEFGHO’x’y’例题解析五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线./x/yABCD/z/A/D/C/BABC/A/D/C/BD例4画棱长为2cm的正方体的直观图.例题解析1：下列说法是否正确？(1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形.(2)两条相交直线的直观图可能平行.(3)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直.（×）（×）（×）(4)等腰三角形的水平放置的直观图仍是等腰三角形.（×）课内练习()A.B.C.D.如图，直观图所示的平面图形是任意四边形直角梯形任意梯形等腰梯形oxyDCBAB例题解析例5oxyCBAC()A.B.C.D.2：如图，直观图所示的平面图形是任意三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形课内练习()A.B.C.D.3：如图，直观图所示的平面图形是正三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形DoxyCBA课内练习（1）先作一个正三角形（2）然后以BC所在直线为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，画对应的x‘、y’轴，使夹角为45°画直观图时与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段程度变为原来的一半由直观图恢复到平面图形的步骤：42原图形直观图SS结论：如图ΔA‘B‘C’是水平放置的ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）AC当堂检测总结1.平行投影的性质;3.坐标系的选取是画直观图的关键，选取不同的坐标系，画出的直观图可能不一样.2.斜二测画法步骤(1)平面图形的斜二测画法,(2)简单几何体的斜二测画法；平面图形的直观图画法（1）画轴.（2）确定平行线段.x’y’o’(450或1350)xyo平行x轴的线段平行于x’轴平行y轴的线段平行于y’轴（3）确定线段长度.平行x轴的线段的长度保持不变.平行y轴的线段的长度变为原来的一半.确定点位置的画法:在斜坐标系里横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半.(4)成图空间几何体的直观图的画法：1.画几何体的底面：在已知图形中取互相的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的/x轴、/y轴，两轴相交于点/O，且使///xOy=，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于/x轴、/y轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度，平行于y轴的线段，长度变为.2．画几何体的高：在已知几何体中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的/z轴，也垂直于///xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于/z轴且长度.