声与振动基础第二章习题

第二章习题1、证明下列表达式是一维波动方程的正确解①②证明：一维波动方程为(,)sincosjtjtpxtAekxBekx(,)jkxjkxjtpxtCeDee2222210PPCtx（1）将①代入波动方程第一式可得：代入第二式得：即①满足方程所以为一维波动方程的正确解。222222001sincos(,)jtPAkxBkxekPxtCtC22222sincos(,)jtPkAkxkBkxekPxtx（2）同理将②代入波动方程第一式可得：代入第二式得：即②也满足方程所以也为一维波动方程的正确解。22222(,)jkxjkxjtPkCekDeekPxtx222222001(,)jkxjkxjtPCeDeekPxtCtC2、（1）、理想气体的声速c是否随静压强变化？在波动方程中c是否随瞬时声压变化？（2）、如果理想气体遵循等温状态方程，声速c的表达式将是怎样的？空气在20˚C时等温波速是多少？此值与空气在20˚C时的等熵波速相差多少？解：理想气体中近似为等熵绝热过程,因此其中泊松比所以00PVPV/pvCC0000VPPPV根据可知理想气体声速随静压强变化，不随瞬时声压变化。（2）等温情况下：000002000,,SSPPcP00000000MPVVPVPVPPPMVV又因为均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为所以，遵从等温状态方程的声速为：而理想气体，遵从绝热状态方程的声速为：；其中、分别为静态压强和密度。000000000()lPPpPPPP20lpc20000PPcc00Pc00/cP0P0因此二者差值：5001.411.01310343.575(/)1.21Pcms绝热5001.01310289.3424(/)1.21Pcms等温54.23m/scc绝热等温3、计算有效声压为3.5N/m2的平面声波的声压级。设所用的参考声压为（1）Pa（2）Pa（3）µbar（4）µbar解：1µbar=1dyn/cm2=10-5N/cm2=0.1Pa5210610421051053.520log20log21020log1.75100104.86refPSPLPdB63.520log20log1020log3.5120130.88refPSPLPdB53.520log20log100.120log3.5120130.88refPSPLPdB43.520log20log2100.120log1.75100104.86refPSPLPdB4、已知：声波的声压函数为：3(,)410cos[2(1500)]Papxttx式中：x的单位为m，t的单位为s，求该声场的波数、波长、角频率、声压幅值、声压有效值、介质中波速。若介质的密度为1000kg/m3,求介质的特性阻抗、振速的波函数、波阻抗、声能流密度函数、声强和声能密度。解：波数2rad/mk//(2)/(2)1mcTfcck3000波长角频率声压幅值声压有效值介质波速30410PaP3022210PaeffPP0/1500m/sck特性阻抗：振速波函数：6001.510Raylc300(,)(,)2.6710cos(2(1500))m/spxtuxttxc600(,)1.510Rayl(,)apxtZcuxt波阻抗：声能流密度函数：声强：声能密度：22000(,)(,)(,){1cos[4(1500)]}W/m2pWxtpxtuxttxc2200001()(,)W/m2TpIxWxtdtTc222002200002302011(,)22{1cos[4(1500)]}J/m2kpEEppExtuVccptxc5、特性阻抗为的介质中有两列同幅同频相向传播的平面波，其速度势函数为：()()00(,)jtkxjtkxxtee试求：该波场的声压函数、振速函数、波阻抗、声能流密度、声强和声能密度。00c解：振速函数00(,)Re[(,)]Re[(,)]Re{[cos()cos()sin()sin()]}[sin()sin()]uxtuxtxtkjtkxjtkxtkxtkxktkxtkx声压函数00000(,)(,)Re[(,)]Re[]Re{[cos()cos()sin()sin()]}[sin()sin()]rtpxtpxttjtkxjtkxtkxtkxtkxtkx波阻抗声能流密度()()00()()0200002(,)[]()(,)[]11jtkxjtkxajtkxjtkxjkxjkxjkxjkxjkxjkxpxtjeeZxuxtjkeeeeecceee00202220(,)(,)(,)[sin()sin()][sin()sin()][sin()sin()]Wxtpxtuxtktkxtkxtkxtkxktkxtkx声强声能密度02201()(,)1[sin()sin()]0TTIxWxtdtTtkxtkxdtT2200200022220011(,)22[sin()sin()]kpEEpExtuVcktkxtkx6、理想介质中，已知声波的速度势函数为00c(,)sin()cos()xtAkxt试求：质点振速函数、声压函数、波阻抗、声能流密度和声波强度。解:复数形式的速度势函数为(,)sinjtxtAekx7、有效声压50Pa、频率1000Hz的平面波由水中垂直入射到水与空气的平面界面上。试求：（1）透射到空气中的平面波的有效声压是多少？（2）水中入射波和空气中的透射波声强各是多少？（3）如果该平面波由水入射到水—冰界面上，重新计算上述（1）、（2）中各量；（4）冰层的声功率反射系数是多少？（若冰的值为）解:(1)透射系数c62.9410Rayl1500103432.13432.12223212水水空气空气空气空气cccZZZD3621.2343100411.6500.0271.2343101500411.61.510TeiePDpPa2-32350501.6710/101500ieiPIWmc水水22-620.0271.810/1.2343TeRpIWmc气气（）666222.9410D1.321.5102.9410ccc冰冰水水冰冰22.945066.21.52.94TeieapDpP321.6710/iIWm22-32666.21.4910/2.9410TTpIWmc冰冰（）22222)2.941.5()()0.1052.941.5riiwiIRppRRccIcccc水水水水冰冰水水冰冰水水（（）8、平面声波垂直入射到海底，如果反射波比入射波低20dB，问液态海底物质的声阻抗率可能取什么数值？解：rirefrrefippppppdBlg20lg20lg202022100.1ZririZcpppRpc海水海水海水海水2Z9、由平面声波垂直入射到空气和位置特性阻抗的无限流体的分界面平面上。若已知有一半声能被反射，则求未知的特性阻抗。如果有1/4的能量被反射，未知特性阻抗又是多少？解：20.50.5RR11'1171.20.52419ZRaylcZRZRaylcZ由前题知：同理：20.250.5RR111'10.5138.31245cZRcZZRaylZRayl10、在空气中平面谐和波垂直入射到特性阻抗785Rayl的平表面上，求驻波比等于多少？（驻波比定义为驻波场中声压级大值与极小值的比值）解：界面垂直反射系数为110.3121.9110.312RGR312.06.4117856.4117853432.17853432.17851212ZZZZR驻波比为：11、试以一维平面波为例，导出理想流体媒质中存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式。推导如下：当存在反射波时，声场的声压为)()(~kxjkxtjBeAep][11~)()(000kxjkxtjBeAecdtxpujkxjkxjkxjkxkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjkxjkxtjneReeReceReeReceABeeABecBeAeBeAecBeAecBeAeupz00)()()()(00)()()()(00)()()()(00)()(00)()(][1~~12、测得海底全内反射临界角为58°，设取海底土质与水的密度比为2.7。若平面波以30°角入射到海底平面上，求反射波强度与入射波强度之比？解：声压反射系数为：ititititnnnnpccccccccZZZZRcoscos1coscos1coscoscoscos1212土水土水土水土水水水土土水水土土根据题意知：7.21土水8480.090sin58sin土水cc2330coscosi2sinsin58sin90sinsin30sin90cos1()0.8077sin58ittn反射波强度与入射波强度之比2991.0coscos1coscos122ititpIccccRR土水土水土水土水13、频率为20kHz的平面波从水中无反射地进入钢中，试求中间所夹塑料层（其密度为1500kg/m3）的厚度和声速。解：且要无反射的进入钢中，则需满足ZZ钢水(21)4ZZZln钢塑料水且cccccc5650/ZZZms钢钢钢塑料水塑料塑料水水钢钢水水塑料塑料(21)(21)0.07(21)m44clnnnf塑料塑料14、水介质中有一块大钢板，厚度为1.5cm，现有2000Hz的平面声波正入射其上。试求：（1）声波通过钢板时所引起的透射损失；（2）钢板的声功率反射系数；（3）如用1.5cm厚的海绵橡皮（密度为500kg/m3）代替钢板，重复计算（1）（2）中的各量。（海绵橡皮中纵波声速为1000m/s）解：（1）透射损失为：102222110221210log()110log(cos()sin)0.914itITLIZZklkldBZZ2222312213222312213222221222122122()cos()sin()cos()sin()sin2cos()sin0.19WZZZkljZZZklRRZZZkljZZZkljZZklZZkljZZkl同理可得（3）问的答案（2）钢板的声功率反射系数15、水介质中有一块厚度为0.04m的大钢板，如果频率为1000Hz的平面波垂直入射到钢板上，问入射波