【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第3篇 第5节 三角恒等变换课件 理

第5节三角恒等变换最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).编写意图三角恒等变换是高考的重点考查内容,主要涉及两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及公式的变形应用.由于公式较多,本节按照题型分为四个考点:三角函数式的化简与求值,给值求值.给值求角及综合应用.注重强化公式的正用、逆用和活用,强调了变形技巧与方法.在多维审题专栏中,强化了化简的几种角度,在复习时应予以重视.考点突破多维审题夯基固本夯基固本抓主干固双基1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的余弦公式cos(α+β)=,cos(α-β)=.(2)两角和与差的正弦公式sin(α+β)=,sin(α-β)=.知识梳理cosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ(3)两角和与差的正切公式tan(α+β)=tantan1tantanπ,,π,Z2kk,tan(α-β)=tantan1tantanπ,,π,Z2kk.2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)二倍角的正弦公式sin2α=.(2)二倍角的余弦公式cos2α==2cos2α-1=1-2sin2α.2sinαcosαcos2α-sin2α(3)二倍角的正切公式tan2α=22tan1tan.3.公式的常见变形(1)tanα±tanβ=.tan(α±β)(1∓tanαtanβ)(2)sin2α=1cos22;cos2α=1cos22;sinα·cosα=1sin22.(3)1+cosα=22cos2;1-cosα=22sin2;1+sinα=2sincos22;1-sinα=2sincos22.4.形如asinx+bcosx的式子的化简asinx+bcosx=22absin(x+)(其中sin=22bab,cos=22aab).基础自测A1.(2014郑州模拟)计算cos42°cos18°-cos48°sin18°的结果等于()(A)12(B)33(C)22(D)32解析:原式=sin48°cos18°-cos48°sin18°=sin(48°-18°)=sin30°=12.故选A.B2.(2014云南名校联考)设向量a=(sinα,22)的模为32,则cos2α等于()(A)32(B)12(C)-12(D)-14解析:由已知sin2α+12=34,所以sin2α=14,根据降幂公式sin2α=1cos22=14,得cos2α=12.故选B.D3.下列命题中,正确命题的个数为()(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(3)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.(4)公式tan(α+β)=tantan1tantan可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.(5)存在实数α,使tan2α=2tanα.(6)当α+β=π4时,(1+tanα)(1+tanβ)=2.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:(1)正确;(2)令α=β=0,等式成立,正确;由cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)0,则cosAcosBsinAsinB,即(3)错;(4)当α、β互余时不成立,错;(5)α=0时成立,正确;(6)当α=π2,β=-π4时等式不成立,错.则正确的命题个数为3.故选D.4.(2014浦东新区模拟)已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根,则tan(α+β)=.解析:本题考查两角和的正切公式,tan(α+β)=tantan1tantan,而tanα+tanβ与tanαtanβ可由韦达定理得tanα+tanβ=-6,tanαtanβ=7,代入可得tan(α+β)=617=1.答案:15.(2014眉山一诊)函数f(x)=sin2(x+π4)-sin2(x-π4),x∈（π6,π3）的值域是.解析:f(x)=sin2（x+π4）-cos2（x+π4）=-cos（2x+π2）=sin2x.因为π6xπ3,所以π32x2π3.所以32sin2x≤1.答案:(32,1]考点突破剖典例找规律三角函数式的化简、求值考点一【例1】(1)(2015三明月考)已知a=sin15°cos15°,b=cos2π6-sin2π6,c=2tan301tan30,则a,b,c的大小关系是()(A)abc(B)abc(C)cab(D)acb(2)2cos8+21sin8的化简结果为.(3)(2014烟台模拟)1cos202sin20-sin10°(1tan5-tan5°)=.解析:(1)a=sin15°cos15°=12sin30°=14,b=cos2π6-sin2π6=cosπ3=12,c=2tan301tan30=12tan60°=32,由141232,可知abc.故选A.(2)原式=24cos4+22sin4cos4=2|cos4|+2|sin4-cos4|,因为54π432π,所以cos40,且sin4cos4,所以原式=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4.(3)原式=22cos1022sin10cos10-sin10°(cos5sin5-sin5cos5)=cos102sin10-sin10°·22cos5sin5sin5cos5=cos102sin10-sin10°·cos101sin102=cos102sin10-2cos10°=cos102sin202sin10=cos102sin30102sin10=13cos102cos10sin10222sin10=3sin102sin10=32.答案:(1)A(2)-2sin4(3)32反思归纳三角函数式的化简常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数.(2)统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.考点二三角函数的给值求值问题【例2】已知0βπ2απ,且cos2=-19,sin2=23,求cos(α+β)的值.解:∵0βπ2απ,∴-π42-βπ2,π4α-2π,∴cos2=21sin2=53,sin2=21cos2=459,∴cos2=cos22=cos2cos2+sin2sin2=19×53+459×23=7527,∴cos(α+β)=2cos22-1=2×495729-1=-239729.反思归纳已知三角函数值,求三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.【即时训练】(2014高考广东卷)已知函数f(x)=Asin(x+π4),x∈R,且f(5π12)=32,(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈(0,π2),求f(3π4-θ).解:(1)由f(5π12)=32,得Asin2π3=32,又sin2π3=32,∴A=3.(2)由(1)得f(x)=3sin(x+π4),由f(θ)+f(-θ)=32,得3sin(θ+π4)+3sin(-θ+π4)=32,化简得cosθ=64,∵θ∈(0,π2),∴sinθ=21cos=2614=104,故f(3π4-θ)=3sin(3π4-θ+π4)=3sinθ=3×104=304.三角函数的给值求角问题考点三【例3】(2014济南模拟)已知0απ2βπ,tan2=12,cos(β-α)=210.(1)求sinα的值;(2)求β的值.解:(1)因为tan2=12,所以sinα=sin(2·2)=2sin2cos2=222sincos22sincos22=22tan21tan2=2122112=45.(2)因为0απ2,sinα=45,所以cosα=35.又0απ2βπ,所以0β-απ.由cos(β-α)=210,得0β-απ2.所以sin(β-α)=9810=7210,所以sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=7210×35+210×45=25250=22.由π2βπ得β=34π.反思归纳(2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是π0,2,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为ππ,22,选正弦函数较好.(1)解决给值求角问题的一般步骤是:①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出要求的角.【即时训练】(2014无锡模拟)已知α,β为三角形的两个内角,cosα=17,sin(α+β)=5314,则β=.解析:因为0απ,cosα=17,所以sinα=21cos=437,故π3απ2,又因为0α+βπ,sin(α+β)=531432,所以0α+βπ3或2π3α+βπ,由π3απ2知2π3α+βπ,所以cos(α+β)=-21sin=-1114,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-1114)×17+5314×437=12,又因为0βπ,所以β=π3.答案:π3【例4】(2014江西省百强中学联考)设函数f(x)=3sinxcosx+cos2x+a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)当x∈[-π6,π3]时,函数f(x)的最大值与最小值的和为32,求a的值.解:(1)∵f(x)=3sinxcosx+cos2x+a=32sin2x+12(1+cos2x)+a=32sin2x+12cos2x+a+12=sin(2x+π6)+a+12,∴T=2π2=π,故函数f(x)的最小正周期为π,令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z),解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ](k∈Z).三角恒等变换的综合应用考点四(2)∵-π6≤x≤π3,∴-π6≤2x+π6≤5π6,故当2x+π6=-π6时,函数f(x)取最小值,即f(x)min=-12+a+12=a,当2x+π6=π2时,函数f(x)取最大值,即f(x)max=1+a+12=a+32,由题意知,f(x)max+f(x)min=(a+32)+a=2a+32=32,解得a=0.反思归纳三角恒等变形的综合应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合,通过变形,将复杂的函数式子化为y=Asin(ωx+)+b的形式再研究性质,在研究性