高等数学一阶微分方程

第一讲一阶方程方法:问题:求解四种类型的一阶方程:(2)一阶线性方程(4)贝努里方程(3)齐次型方程(1)可分离变量方程(1)按照四种特定方程的特定方法求解方程(2)利用变量代换将方程化为四种特定方程进行求解例1(练习二十一/二(2))以作为通解,构造12cxcy微分方程1°方程解的概念解12cxcy由21cycx)(两边求导得01')(ycxy'yycx1再两边求导得221)'(''')'(yyyy22)'(''yyy(1)由于中独立常数的个数与其满足的方程(1)12cxcy的阶数相同,所以所求方程为22)'(''yyy2°方程的求解例2求方程的通解01dyxyydxeyx)()(解原方程可变形为011dyyxdxeyx)()(令yxuyduudydxyux,代入方程有011dyuyduudyeu)())((01dyeudueyuu)()((可分离变量方程)ydydueueuu1解得ceuyu)(所以方程的通解cxyeyx例3方程的通解是0ydxdyyx)((A)yxcey(B)xycey(C)2cxyexy(D)2cxyexy解原方程可变形为1yxdydx(关于x的一阶线性方程))(dyecexydyydy1)(lndyycey11)ln(ycy1yxcey所以通解)(1cec例4(练习二十一/七)求方程的通解2xyxdxdy解原方程可变形为xyxdydx(关于x的伯努里方程)yxdydxx2yxdyxd2221)(令2uxyudydu22)(dyyeceuydy222212ycey2122ycexy所以通解例5求方程的通解0xdydxxxy)sin(解原方程可变形为xxydxdysin(关于y的一阶线性方程))sin(lndxxxcex)cossin(xxxcx1例6求方程的通解02222ydydxxyx)(原方程可变形为解xxydxdyy2222(关于y的伯努里方程))sin(dxxeceyxdxxdx通解:xxydxyd2222)(令有2yuxxudxdu22))((dxexxceudxdx22))((dxexxcexx22)(xxexce2通解xcexy22例7求方程满足02xyyxycos'1)(y的特解解原方程可变形为)'('cosyxyxyyx2积分得通解cyxxsin由1)(yc所以特解:xxysin3°利用变量代换方法求解方程解例8求方程的通解12yyxeyex'原方程可变形为12yyxedxedx)(令有yeu21xxudxdu)(dxexceudxxxdx121)ln(xcx1所以通解:)ln(xcxey1例9求方程的通解xyxyyxtan)('122解原方程可变形为xyxyxtan)()'(1212222令,则22yxu')'(,uuyxyxu222222代入方程有xuuutan)('1解得cxuucoslnln1所以方程的通解:22221xyxyxclnlncos例10(练习二十一/十一)利用换元法sin,cosyx将方程化成以ρ为未知函数,θyxyxdxdy为自变量的新方程,并求原方程满足初始条件y(1)=0的解解因为xyyxarctan,222取微分得ydyxdxd222ydyxdxd2211xydxxdyxyd)(22yxydxxdydydxxdyd2又从方程得yxyxdxdyydyxdxydxxdy从而有dd2dd有初始条件:(x,y)=(0,1)1(0)解得dd1(0)e所以方程的解为xyeyxarctan224°其他问题例11求与曲线族正交的曲线族方程xcy解设所求曲线为,其与的交点)(xyyxcy为M(x,y)xcy在M点处的切线斜率:xyxck21)(xyy在M点处的切线斜率:'yk2由两曲线在M处正交121kkyxy'所求的曲线族方程为cxy22),[0例12(练习二十一/十二)若函数f(x)在上有界,常数k0,证明方程:的任一特解)('xfkyy在上都有界),[0解由于初值问题)()(xQyxPdxdy00yxy)(的解为))(()()(dxexQyeyxxxxdxxPxxdxxP0000设是方程的任一特解)(xyy)('xfkyy则y=y(x)满足:)(xfkydxdy00yy)())((dxexfyeyxxkdxxxkdx0000))((dxexfyekxxkx00))((dxexfyeykxxkx00),(0x)(xkxkxdxeMye00)),(,)((0xMxf))((10kxkxekMye)(kMyekMkx0102ykMkMykM0y=y(x)在[0,+)上都有界例13(练习二十一/十五)2122xxyy'求微分方程有水平渐近线的一条积分曲线解方程的通解))((dxexceyxdxxdx22221))((dxexcexx22212dxexdxedxexxxx222221221)()(xdedxexx1222)(dxexedxexxx22222cxex2xcexeceyxxx1222)(又存在c=0,)(limxyx所求积分曲线xy15°应用问题例14设可导函数f(x)对任意x,y恒有)()()(yfexfeyxfxy且求f(x),)('f20解令得00yx,)()(020ff00)(fyxfyfexfexyy)()()(lim0yxfyxfxfy)()(lim)('0])()()([limyfyfeyexfxyy010xexf2)(f(x)满足:xexfxf2)()('00)(f解得xxexf2)(例15(练习二十三/五)已知函数y=f(x)的图形是经过P(0,1)和Q(1,0)两点的一段向上凸的曲线弧,M(x,y)为该曲线上任一点,弧与弦之PMPM间的面积为,求f(x)32x解设曲线的方程为y=f(x),32121xxfxxfxdttfx))(()()(0由条件知两边求导有26121xxxfxfxxfxfxf))(')(())(')(()(即011212)(,yxxxydxdy方程的通解:))((dxexxceyxdxxdx112))((lnlndxexxcexx112))((dxxcx2112)(xxcx112由y(1)=0得c=11所以所求曲方程为112112xxy例16汽艇以12km/h的速度在静水中行驶,现突然关闭发动机,让它在水中作直线滑行,若已知经过20秒后,速度降为6km/h,而水对汽艇的阻力与汽艇的速度成正比,求(1)关闭发动机40秒后,汽艇的速度(2)关闭发动机后,汽艇在1分钟内滑行了多远?它最多能滑行多远?解(1)设时刻t,汽艇的滑行距离为s=s(t),速度为v(t)汽艇的质量为m,,kvdtdvm则3100)(v(米/秒)dtmkvdvln1ctmkv由3100)(v3101lnctmkev310又3520)(v(米/秒)2031035mke202lnmktev202310ln653104022ln)(ev(2)由00310202)(,lnsedtdst积分得)(ln)(lntets202123200(米)2317560ln)(s汽艇滑行的最远距离:23200123200202ln)(lnlim)(limlntttetss(米)例17求(0,+)上的连续函数f(x),使,且对251)(f任意正数u,v总成立:uvvudttfvdttfudttf111)()()(解设,xdttfxF1)()(则F(x)满足:)()()(xyFyxfxyFxxFxxFxFx)()(lim)('0xxFxxxFx)()]([lim10xxFxFxxxxxFx)()()()(lim110))((01FxxFxxxxxFx)()(lim10)]()()([limxFxxxFxxFx1110)()('xFxF11)()(xFxf11)(xFx125F(x)满足:251)()('xFxxF01)(F解得xxxFln)(25)ln()(')(xxFxf125