高等数学上-闭区间上连续函数的性质

第八节闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有很多重要性质.这些性质在以后各章的学习中经常用到.这些性质,从几何上是容易理解的,但要给出完整而严格的证明,有时却是比较困难的.本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质,并从几何上对这些性质予以解释.一、最大值最小值定理定义设定义在区间上，()fxI0()(),fxfx则称为函数在区间上的最大值；为最大值点，0()fx()fx0x若存在点使得对每一个都有0,xIxI0()(),fxfx则称为函数在区间上的最小值；为最小值点，0()fx()fx0x若存在点使得对每一个都有0,xIxI0()maxxIfxfx并记0()minxIfxfx并记例函数在整个区间上的最小值为,()fxxx0fxxxxyO(),fxxx但无最大值.3,()2;xfxx当21,();xfxx当02,()1;xfxx当1闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值yfxxyOab定理1（最大值最小值定理）.和最小值.从右边的图中可以看出,若函数在闭区间上连()fx()fx续,则在点和处分别取到最大值和最小值.证明从略.用简单的数学符号，定理1可表述为：值得注意的是，定理1中的条件在闭区间上连续，()fx[,]fCab[,],[,],()max{()},xababffx使[,]()min{()}.xabffx不能改为开区间.证因存在，由局部有界性定理，存在()fa0,例设函数在内连续，且存在，()fx,ab()fa由于区间可以表示为,ab,,,abaaab由于函数连续，故函数在闭区间有界.,ab()fx,ab证明在内有界.,aa()fx使得在内有界；,ab由此得函数在内有界.二、零点定理与介值定理在初等代数中,我们熟知这一个事实:从几何上我们可以很清楚地看到xyO0x12()()0,nnPxPx则一定存在0120,,()0.nxxxPx使()nPx12,xx对多项式函数，若存在使得该问题的实际意义.但该问题对于一般函数而言，结论不成立.xOy1(),21xxfxxx注意到：(0)2,(2)2,ff例如，00,()0.xfx使但不存在关键原因在于函数不连续.定理2(零点定理)定理2可用符号表述为：[,],()()0fCabfafb且()fx,ab(),()fafb若函数在闭区间上连续，且异号，()fx,ab则函数在开区间内至少存在一个零点.00(,),()0.xabfx使xyoab0xyfx从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧的()yfx两个端点分别位于轴的两侧，则曲线弧与轴至少有xx一个交点.例证明方程在区间内有唯一的根.e0(1,1)xx证令()e[1,1],xfxxC1(1)(1)e1e10,ff由零点定理，必存在，使得01,1x0()0.fx又函数是单调增加函数，故零点是唯一的.()fx例任何实系数奇次多项式方程必有实根。证设实系数奇次多项式方程为因不妨设.记00a10110,nnnnaxaxaxa1011(),nnnnfxaxaxaxa1000()1,nnnaafxaxaxax可见：lim(),lim()xxfxfx故，存在使得10,x1()0;fx0()0.fx使得20,x2()0.fx同理存在使得21()[,],fxCxx021,xxx因由零点定理，知存在证作函数则且()(),Fxfx()[,],FxCab()0,FaFbfafb0()0.Fx且,则对于介于与之间的任何实()()fafb()()fafb定理3(介值定理)若函数在闭区间上连续,()fx,ab数在区间内至少存在一点使得,0x0().fx,ab即0().fx由零点定理,存在0(,)xab使得注零点定理是介值定理的特殊情况.xyoab0xyfxxyoab0xyfx之间的任何值.即[,]fCab[,][,]min(),max(),xabxabfxfx00[,],.xabfx使推论1闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值为闭区间.推论2闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射例4一个登山运动员从早上7：00开始攀登山峰，下午7：00证：设L为山脚到山顶的总路程，1st为运动员第一天登山在t时刻所走过的路程，2st为运动员第二天下山在t时刻离开山脚的路程，21stst为区间0,12上的连续函数，并且2100ssL，211212ssL，到达山顶，次日早上7：00开始下山，下午7：00到达山脚.试用介值定理说明：这个运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.故而在0,12时间段内必有0t使得20100stst，即2010stst，表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.