高等数学下册复习

高等数学总复习机动目录上页下页返回结束高等数学复习简介向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置关系；平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；二元函数的极限;二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系；多元隐函数求导，曲面的切平面方程；复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；方向导数，多元函数的条件极值问题；二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一”计算方法；曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。机动目录上页下页返回结束向量的方向余弦机动目录上页下页返回结束oyzx与三坐标轴的夹角,,r为其方向角.机动目录上页下页返回结束方向角的余弦称为其方向余弦.222zyxxcosrxcosrycosrz向量的运算设1.向量运算加减:数乘:点积:),,(zzyyxxbabababa),,(zyxaaaazzyyxxbabababa),,(,),,(,),,(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动目录上页下页返回结束2.向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbababa共面cba,,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba平面与直线（包括坐标轴）的位置关系主要通过向量间的关系来衡量线线关系，线面关系，面面关系；问题根源仍然是对向量关系的正确理解；面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:1、线面之间的相互关系),,(,0:222222222CBAnDzCyBxA021nn2121θcosnnnn机动目录上页下页返回结束,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2、线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),,(1111pnms),,(2222pnms021ss2121cosssss机动目录上页下页返回结束CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：3.面与线间的关系直线:),,(,0CBAnDCzByAx),,(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动目录上页下页返回结束实例分析例1.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x)1,3,4(32y15z平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.21nns机动目录上页下页返回结束例2.求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得001zyxzy这是投影平面0)1(1zyxzyx即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程,1机动目录上页下页返回结束例3.设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4,1,7(1n机动目录上页下页返回结束417211kji)4,5,3(2所求为平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程主要利用书中结论:即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母;22yxz122zyxyxz0122zyxyx例1求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.1zyx解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动目录上页下页返回结束r例2.直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.提示:在L上任取一点旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有z22yx得旋转曲面方程1222zyxr机动目录上页下页返回结束二元函数的极限方法:主要根据定义求极限、讨论极限；利用定义求导数；机动目录上页下页返回结束例1.设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx,0εyx,2εδ时，当δ022yxρ总有ε要证机动目录上页下页返回结束例2证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．（1）令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．确定极限不存在的方法：二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导根据定义必要条件充分条件反例函数),(yxfz在点),(00yx处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点),(00yx处连续；（2）),(yxfx、),(yxfy在点),(00yx的某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx),(),(，当0)()(22yx时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx,当0)()(22yx时是无穷小量.思考题0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示:利用,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f在(0,0)连续;,0),0()0,(yfxf又因0)0,0()0,0(yxff所以知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.1.证明:机动目录上页下页返回结束而)0,0(f,00时，当yx22)0,0()()(yxf22222])()([)()(yxyx0所以f在点(0,0)不可微!232222])()([)()(yxyx机动目录上页下页返回结束多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分隐函数的一阶求导方法：公式法;推导法;注意两者的区别;隐函数求二阶导数时,只能利用推导法;机动目录上页下页返回结束复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,uvyxyx;122.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动目录上页下页返回结束设),,(xvufz，而)(xu，)(xv，则xfdxdvvfdxduufdxdz，试问dxdz与xf是否相同？为什么？思考题思考题解答不相同.等式左端的z是作为一个自变量x的函数，而等式右端最后一项f是作为xvu,,的三元函数，写出来为xxvuxdxduufdxdz),,(.),,(),,(xvuxxvuxfdxdvvf例1.设其中f与F分别具解法1方程两边对x求导,得xzdd)0(23FFfx23FFfx132FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数,求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyF机动目录上页下页返回结束解法20),,(,)(zyxFyxfxz方程两边求微分,得化简消去即可得ydyFd2yfxd机动目录上页下页返回结束例2.设有二阶连续偏导数,且求.,2yxuxu解:uzyxtxyxxu1f(3f)yxu212f(13f)32f33f)cossin2(2yxtxtx3fyxtx1cos222)(yxx)(yx1costyx1yx1机动目录上页下页返回结束tdtteyxezxxyx0sin,2有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux(2001考研）机动目录上页下页返回结束练习3.设例3.设,04222zzyx解法1利用隐函数求导0422xzxzzxzxxz220422xz2)(1xz.22xz求机动目录上页下页返回结束再对x求导解法2利用公式设zzyxzyxF4),,(222则,2xFxzxFFxz两边对x求偏导)2(22zxxxz322)2()2(zxz2zxzx242zFz机动目录上页下页返回结束为简便起见,引入记号,,2121vuffuff例4.设f具有二阶连续偏导数,求.,2zxwxw解:令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf2),(2zyxzyxfzy则zxw222221211)(fyfzyxfzxyfyxf12yxf2221,,ff机动目录上页下页返回结束曲面的切平面方程•求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)机动目录上页下页返回结束设有光滑曲面在其上一定点的切平面的法向量是?)(),,(0000xxzyxFx曲面在点M的法向量法线方程000zzyyxx)(),,(0000yyzyxFy0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFzMT)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习目录上页下页返回结束)(),(000xxyxfx曲面时,zyxfzyxF),(),,(则在点),,,(zyx故当函数),(00yx法线方程令有在点),,(000zyx特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量用将),(,),(0000yxfyxfyx,,yxff法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,)1,),(,),((0000yxfyxfnyx复习目录上页下页返回结束例1.求球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程)1(2x即法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动目录上页下页返回结束)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n方向导数与梯度问题•三元函数在点沿方向l(方向角),,为的方向导数为coscoscoszfyfxflf•二元函数在点),的方向导数为coscosyfxflf沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为zfyfxff,,grad•二元函数在点处的梯度为)),(,),((gradyxfyxffyx3.关系方向导数存在偏