20-3.1不等关系与不等式

3.1不等关系与不等式引例1：限速5km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过5km/h.怎样用不等式表示这里的不等关系？引例2：今天的天气预报说：今日天气多云，气温23~11℃.．问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与|AB|的大小关系怎样表示？d≤|AB|ABd问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？2.5(80.2)200.1xx问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.如何用不等式组表示上述所有不等关系？5006004000300xyxyxy问题4：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？a＞b，a＝b，a＜b.问题5：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？差为负数或零呢？a－b＞0a＞ba－b＜0a＜ba－b﹦0a﹦b证明：，所以因为0,baba,0)(ba所以,0ab即.ab所以性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性.性质1：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.不等式的性质00cbbacbba，，0)()(cbba.0caca证明：这个性质也可以表示为cb，ba，则ca.这个性质是不等式的传递性.性质2：如果ab，bc，那么ac.,ba因为证明：,0)()(bacbca所以.cbca所以性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.a+bca+b+(－b)c+(－b)ac－b.结论：不等式中的任何一项都可以改变符号后移到不等式另一边（移项法则）性质3：如果ab，则a+cb+c.证明：,0,0,cbaba又得由,0,0)(bcaccba即所以.bcac所以性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.性质5：如果ab，cd，则a+cb+d.证明：因为ab，所以a+cb+c，又因为cd，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得a+cb+d.几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.性质6：如果ab0，cd0，则acbd.证明：因为ab，c0，所以acbc，又因为cd，b0，所以bcbd，根据不等式的传递性得acbd.几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.性质7：性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同号.0,,(,2)nnabbnNn如果那么a性质8：0,,(,2)nnababnNn如果那么性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据例1.已知ab0,c0,求证.acbc＞证明：因为ab0,于是,11abbaba即.11ab由c0,得,acbc.bcac即所以ab0,ab10.思考？能否用作差法证明？例2．当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.解：(px+qy)2－(px2+qy2)=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p，因此(px+qy)2－(px2+qy2)=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，因为p，q为正数，因此(px+qy)2px2+qy2.当且仅当x=y时，不等式中等号成立.变式训练：比较x2－x与x－2的大小.解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)0，因此x2－xx－2.判断两个实数大小的依据是：000abababababab作差比较法这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.例3.已知1a4,2b8.试求2a+3b与a-b的取值范围．变式训练:已知-6a8,2b3,求a/b的取值范围．课堂小结1．认识生活中的不等关系,用不等式(组)来表示问题中的不等关系.2．实数比较大小的基本原理.3．用作差法来比较大小．4.不等式的性质及其简单应用.作业课本75页，A组，第5题，B组，第1,2题．