电磁场与电磁波(电磁场理论)第二章.

例2.2.1计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为a、外半径为b，电荷面密度为。在环形薄圆盘上取面积元，其位置矢量为，所带的电量为。而薄圆盘轴线上的场点的位置矢量为，因此有P(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘dSadE故由于P(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘dSadE例2.2.2求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a，电荷密度为0。解：（1）球外某点的场强（2）求球体内一点的场强ar0rrEa(r≥a)（ra）由由，而场点P的位置矢量为，故得解：设圆环的半径为a，流过的电流为I。为计算方便取线电流圆环位于xoy平面上，则所求场点为P(0,0,z),如图所示。采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为,其位置矢量为例2.3.1计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。dIlyxzoPa载流圆环rRr轴线上任一点P(0,0,z)的磁感应强度为线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分量相互抵消。当场点P远离圆环，即za时由于在圆环的中心点上，即z=0磁感应强度最大解：分析场的分布，取安培环路如图，则根据对称性，有，故在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。3.利用安培环路定理计算磁感应强度例2.3.2求电流面密度为的无限大电流薄板产生的磁感应强度。C1B2BOxy解选用圆柱坐标系，则由安培环路定理，得例2.3.3求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。取安培环路，交链的电流为bcaII由安培环路定理，得由安培环路定理，得acb02πIb02πIaObcaII例2.4.1半径为a、介电常数为的球形电介质内的极化强度为，式中的k为常数。（1）计算极化电荷体密度和面密度；（2）计算电介质球内自由电荷体密度。故电介质球内的自由电荷体密度处的极化电荷面密度为解：（1）电介质球内的极化电荷体密度为（2）因，故例2.4.2有一磁导率为µ，半径为a的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（µ0），试求圆柱内外的、和的分布。解磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定理，得0CIa例2.4.3半径的a球形磁介质的磁化强度，如图所示。式中的A、B为常数，求磁化电流密度。在处的磁化电流面密度为解：磁化电流体密度为Oaz球形磁介质的磁化强度reeM例2.4.4内、外半径分别为a和b的圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度为的传导电流，如图所示。设磁介质的磁导率为，求磁化电流分布。解：利用安培环路定理求各个区域内由传导电流J产生的磁场分布。在的区域，得在的区域，得在的区域，得圆筒形磁介质zbaJ在磁介质圆筒内表面上在磁介质圆筒外表面上磁介质的磁化强度（1），矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环LvB（3），且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。解：(1)回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故例2.5.1长为a、宽为b的矩形环中有均匀磁场垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。B（2），矩形回路的宽边b=常数，但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大；(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得(2)均匀磁场为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的，故得B或（1）线圈静止时的感应电动势；解:（1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故（2）线圈以角速度ω绕x轴旋转时的感应电动势。例2.5.2在时变磁场中，放置有一个的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量与成α角，如图所示。试求：xyzabB时变磁场中的矩形线圈ne假定时，则在时刻t时，与y轴的夹角，故方法一：利用式计算（2）线圈绕x轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。上式右端第二项与(1)相同，第一项xyzabB时变磁场中的矩形线圈ne12234方法二：利用式计算。例2.5.3海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值.(设电场随时间作正弦变化)解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例2.5.4自由空间的磁场强度为解自由空间的传导电流密度为0，故由式,得例2.5.5铜的电导率、相对介电常数。设铜中的传导电流密度为。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。(设电场随时间作正弦变化)而传导电流密度的振幅值为通常所说的无线电频率是指f=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f=30～300GHz），从上面的关系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为解：(1)导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为d的两平行板之间的电场为E=u/d，则例2.6.1正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。(1)证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交流电压源相接与闭合线铰链的只有导线中的传导电流(2)以r为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故则极板间的位移电流为CPricu平行板电容器与交流电压源相接极板的面积例2.6.2在无源的电介质中，若已知电场强度矢量，式中的E0为振幅、ω为角频率、k为相位常数。试确定k与ω之间所满足的关系，并求出与相应的其他场矢量。解：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定k与ω之间所满足的关系，以及与相应的其他场矢量。对时间t积分，得由以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H和D代入式例2.7.1z0的区域的媒质参数为,z0区域的媒质参数为。若媒质1中的电场强度为媒质2中的电场强度为（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度和；（3）验证和满足边界条件。解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z=0处，有由边界条件将上式对时间t积分，得（2）由，有同样，由，得可见，在z=0处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（z=0）不存在面电流。（3）z=0时试问关于1区中的和能求得出吗？解根据边界条件，只能求得边界面z=0处的和。由，有1区2区xyz电介质与自由空间的分界面O例2.7.2如图所示，1区的媒质参数为、、2区的媒质参数为。若已知自由空间的电场强度为又由，有则得最后得到解（1）由,有试求:（1）磁场强度；（2）导体表面的电流密度。例2.7.3在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中，已知电场强度zxydO将上式对时间t积分，得（2）z=0处导体表面的电流密度为z=d处导体表面的电流密度为zxydneO例2.7.4有一个平行板电容器，极板的面积为S，上下极板相距为d且分别带电±q，极板之间的下半部份充满介电常数为的介质。如忽略边缘效应，求E、D及极化电荷分布。解：电荷均匀分布在极板的内侧，分别为由边界条件SP上Sq-qdD介质两个表面的极化电荷等量异号SP下例2.7.5长直细导线与磁导率为分别为1和2(1)的两种介质分界面垂直，分界面为平面。求B、H和磁化电流分布。(设电流为I)21Iz解：由H1t=H2t由安培环路定理，得在z=0处H1=H2=H。MSJ在介质1中r=0附近利用121202πMMSMIIIrJ21IzMSJIM1IM2同理12qqq12例2.7.6球形电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，其间填充介电常数分别为和的两种均匀介质，如图所示。设内球带电荷为q，外球壳带电荷为-q，求两球壳间的电场和极化电荷分布。解由于电场方向沿径向，所以在介质1与介质2的分界面上，电场与分界面平行，即为切向分量。根据边界条件可知,。由高斯定理，有但12qqq处:处: