圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题一、轨迹为圆：1、长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为21，求点M的轨迹方程;2、线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆1)1(22yx上运动，求AB的中点M的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为32。（1）求圆心的P的轨迹方程；（2）若P点到直线xy的距离为22，求圆P的方程。3如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.4在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围．5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A，且在y轴上截得弦MN的长为8.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点)0,1(B，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点QP,，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点。二、椭圆类型：3、定义法：点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线8x的距离之比为21，求点M的轨迹方程.MBAMF1F24、圆锥曲线第一定义：一个动圆与圆05622xyx外切，同时与圆091622xyx内切，求动圆的圆心轨迹方程。5、圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F9)1(22yx上的一个动点,点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆内)6、其他形式：设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为94，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）（讨论当他们的斜率的乘积为94时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆:M1)1(22yx，圆:N9)1(22yx，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。（1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于BA,两点，当圆P的半径最长时，求AB（2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程（2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率。三、双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F1)1(22yx上的一个动点,点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆外)QF1F2MQF1F2M定义法：点M(x,y)与定点F(5，0)的距离和它到定直线516x的距离之比为45，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型：10、定义法：点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线2x的距离相等，求点M的轨迹方程。（或：点M(x,y)与定点F(2，0)的距离比它到定直线3x的距离小1，求点M的轨迹方程。）（2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程（2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率已知三点(0,0)O，(2,1)A，(2,1)B，曲线C上任意一点(,)Mxy满足||()2MAMBOMOAOB。（1）求曲线C的方程；）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（辽宁）如图，椭圆0C：22221(0xyabab，a，b为常数)，动圆22211:Cxyt，1bta。点12,AA分别为0C的左，右顶点，1C与0C相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;（四川）如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围。1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yxB.14922xyC.14922yxD.14922xy二、填空题3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.8.(★★★★★)已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，ABC中，已知(2,0)B，(2,0)C，点A在x轴上方运动，且tantan2BC，则顶点A的轨迹方程是．2．如图2，若圆C：22(1)36xy上的动点M与点(1,0)B连线BM的垂直平分线交CM于点G，则G的轨迹方程是．xyOQPAxyOBAQPxyOBAC图1图2图3图4BGCMOyx3．如图3，已知点(3,0)A，点P在圆221xy上运动，AOP的平分线交AP于Q，则Q的轨迹方程是．4．与双曲线2222xy有共同的渐近线，且经过点(2,2)的双曲线方程为．5．如图4，垂直于y轴的直线与y轴及抛物线22(1)yx分别交于点A、P，点B在y轴上，且点A满足||AB2||OA，则线段PB的中点Q的轨迹方程是．几种常见求轨迹方程的方法：1．直接法：【例1】（1）求和定圆222xyR的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程；（2）过点(,0)Aa作圆O：222xyR(0)aR的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．【例2】已知直角坐标平面上一点(2,0)Q和圆C：221xy，动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与||MQ的和．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【例4】已知定圆A的半径为r，定点B与圆A的圆心A的距离为(2)mmr．又一动圆P过定点B，且与定圆A相切．求动圆圆心P的轨迹方程．3．动点转移法：【例5】已知定点(3,1)A、B为抛物线21yx，上任意一点，点P在线段AB的中点，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．．4．待定系数法：【例7】若抛物线24yx和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线2yx被双曲线截得的线段长等于25，求此双曲线方程．5．参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点P的坐标x、y，从而动点轨迹的参数方程()()xftygt消去参数t，便可得到动点P的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t的范围确定出x、y的范围．【例8】抛物线24xy的焦点为F，过点(0,1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程．．巩固练习：1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（）（A）椭圆的一部分（B）椭圆（C）双曲线的一部分（D）双曲线2．已知动点M与定点)0,2(F的距离比动点M到y轴的距离大2，则动点M的轨迹（）（A）抛物线（B）抛物线的一部分（C）抛物线和一射线（D）抛物线和一直线3．已知定直线l和l外一点A，过A与l相切的圆的圆心轨迹是（）（A）抛物线（B）双曲线（C）椭圆（D）直线4．一动圆与两圆221xy和228120xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线5．已知椭圆的焦点是1F、2F、P是椭圆上的一个动点．如果延长1FP到Q，使得||PQ2||PF，那么动点Q的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线6．已知点)0,2(A、)0,3(B，动点(,)Pxy满足2PAPBx，则点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线7．与圆2240xyx外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）（A）28yx（B）28(0)yxx和0y（C）28yx(0)x（D）28(0)yxx和0(0)yx8．过抛物线22yx的焦点作直线与此抛物线相交于两点P、Q，则线段PQ中点的轨迹方程为（）（A）221yx（B）221yx（C）222yx（D）222yx9．过点(,)Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA，且1OQAB，则点P的轨迹方程是（）（A）22331(0,0)2xyxy（B）22331(0,0)2xyxy（C）22331(0,0)2xyxy（D）22331(0,0)2xyxy10．已知两点(2,0)M、(2,0)N，点P为坐标平面内的动点，满足||||0MNMPMNNP，则动点(,)Pxy的轨迹方程为（）（A）28yx（B）28yx（C）24yx（D）24yx11．与双曲线221916xy有共同的渐近线，且经过点(3,23)的双曲线方程是（）（A）224149xy（B）224149yx（C）224149xy（D）224149yx12．设P为双曲线2214xy上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是．13．已知1(,0)2A，B是圆F：221()42xy（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．14．倾斜角为45的直线交椭圆1422yx于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是．15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过(3,2)A和(23,1)B两点的椭圆方程．16．已知双曲线与椭圆22464xy共焦点，它的一条渐近线方程为30xy，则双曲线的