输油管线铺设的最短路线设计(1)

晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文输油管线铺设的最短路线设计学生姓名：xxx指导教师：xxx摘要：人们在生产，生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。如由炼油厂向车站运油等都是实际需要解决的问题.在解答此类问题时，可以将实际问题简化成平面数学图形,将两炼油厂A、B的位置及车站位置的各种可能情况在平面上画出来,从而将实际问题化为数学问题，利用代数解法便可将其通过数学建立模型来解答．关键词：最短线路;费马点法;对称点法;Matlab.晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文TheLatestRouteDesignofOilPipelineStudent:LiLifangInstructor:SunXiuhuaAbstract:Inproduction,peopleoftenencounteredsomeproblemsaboutthelatestroutewithsomeconstraints.Forexamplecarryingoilrefinerytothestationistheactualproblem.Inordertosolvethisactualproblem,youcanbesimplifieditintoplanemathematicsgraphics.ThepositionofrefineriesA,Bandthestationcanbedrawnontheplaneinvariousposition,whichwillturnpracticalproblemsintomathproblems,usingalgebraicmethodwillsolvethisproblem.Keywords：thelatestline;feehorsepoint;symmetricalpoint;Matlab晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文目录1问题的重述…………………………………………………………12问题分析……………………………………………………………23模型的假设与符号说明……………………………………………23.1模型的假设………………………………………………………23.2符号说明…………………………………………………………34模型的分析…………………………………………………………35模型建立……………………………………………………………45.1问题一……………………………………………………………45.2问题二……………………………………………………………65.3问题三…………………………………………………………11参考文献………………………………………………………………14晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文11问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一车站,用来运送成品油,要求建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.问题一:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出你的设计方案.在设计时,若有共用管线,需考虑共用管线费用与非共用管线费用相同与不同的情形.问题二:设计院现在需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的位置和它们分别到铁路线的距离已给出,其中A厂位于郊区,B厂位于城区,两区域的分解线也已给出,具体情形如图一所示,图中各字母表示的距离（单位:千米）分别为20,15,8,5lcba.图一若所有管线铺设费用均为每千米7.2万元，铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此附加费用进行估计，聘请了三家咨询公司（其中一家具有三家资质，公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行AaBclⅠⅡb晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文2了估算.估算结果如表一所示:表一工程咨询公司公司一公司二公司三附加费（万元/千米）212420要求为设计院给出管线布置方案及相应的费用.问题三:在实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用适应的油管.此时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油为每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁及附加费用同问题二.请给出最佳布置方案和相应的费用.2问题分析管线铺设路线要想费用最省，必须是铺设线路最短.所以建立模型时必须保证两炼油厂A、B与车站的距离之和最短.所以管道铺设费用最省就转化为求最短路线的问题了．对于问题一，我们应分别从有共用管线和全是非共用管线两方面入手考虑．而且费用也会因共用部分的长短而不同．对于问题二，根据给出的已知数据，我们既要考虑路线最短，又要考虑它在城区的管道路线较短，综合两者费用最小的方案即为所需的方案．对于问题三，我们是在问题二的基础上，增加对炼油厂生产能力的限制及两厂管道费用不同，共用路线非用不同来确定最优路线和最少费用．3模型的假设与符号说明3.1模型的假设(1)将两炼油厂和要建的车站本身的面积忽略不计，看成是质点，铁路线看成是直线．(2)在管道铺设线路上，假设没有任何障碍，可以沿任何符合条件的路径行走.晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文3(3)不考虑油田与炼油厂之间的运输情况.(4)不考虑车站的储油能力.(5)在问题一和问题二中不考虑炼油厂的生产能力，认为它们生产能力相同,无限大.(6)假设管道费用仅与管道长度有关，与输油量无关.3.2符号说明A:表示炼油厂AB:表示炼油厂BC:表示车站的位置F:表示管线中间的一个结点a:表示炼油厂A到铁路线的距离b:表示炼油厂B到铁路线的距离m:表示铁路线x:表示OC的长度y:表示CF的长度l:表示MN的长度c:表示M到城区与郊区分界线的距离S:表示无共用管线时的总费用T:表示有共用管线时的总费用q:示单位千米的共用管线费用1q：表示非共用管线A厂的单位千米的铺设费用2q：表示非共用管线B厂的单位千米的铺设费用3q:表示三家搬迁公司的加权平均费用iQ:表示不同情况的管线铺设费用4,2,1i4模型的分析本题针对对车站确定的不同位置，建立不同的管道路线方案，综合考评找出晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文4费用最小模型，从而为设计院最大程度的节省开资．我们分别采用点关于直线对称的原理和费马点定理及matlab程序设计得出最优解．同时我们还根据共用管道路线的不同情况（有无共用管线）来得出最优方案．5模型建立5.1问题一:利用穷举搜索法，比较得出最优方案.（I）计算出车站若在O或D所需的费用.必须得知AO、BD、AD、BO的最短距离，在此基础上再求总费用.测量结果如表二:表二AB运费Oa22cb)(22cbapD22cab)(22cabp（II）需要说明的是，车站的位置直接关系到路径的选择，如果C点选在MN之间,则采用“对称点法”，如图二表示的方法设计管线.以铁路线为x轴，过点A做铁路线的垂线y轴,建立坐标系，如图二所示，坐标原点为O，做A点关于x轴的对称点A,连接BA,交x轴于C点，则点C即为车站的位置.输油管按ACB铺设成”V”字型，总长为：2222balEBAECBCABA采用此种设计方案，没有共用管线，故不需要考虑共用管线费用与非共用管线费用不同的情形.共用管线和非共用管线费用相同，不考虑二者的区别时，管线的铺设费用为q万元每千米，(1)如果21qqq时,建立管线建设费用的最小值为：晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文5221balqqABQ；(2)如果21qq时，建立管线建设费用的最小值为：212qCBqACQ（设点C的坐标为0,x,由三角形相似可得baalx,其中22xaAC,22xlbCB.（III）如果A、B两炼油厂炼出的油不是用“对称点”法所确定的线路CBAC并不是最短线路.易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时,在三角直接输送到车站C,那么模型1中形内必存在费马点F有CBACFCFBFA此时输油管的总长还可以更小一些，于是输油管线的最短问题即为A、B两点在直线m同侧,点C为m上一个动点的费尔马问题,如图三,以AB为一边作三角形ABM,并作ABM的外接圆.byxaclAABCDEWO图二晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文6A从M点作直线m的垂线,交圆于F点,垂足为C.C即为车站位置,此时F点为费马点,使得CFBFAF为最短,即先分别从A、B两地把油运往F点,再把油从F点引到C点,设F点坐标为yx,,点F与点C的横坐标均为x,于是点C的坐标为0,x.此时由于有共用管线CF,和非公用管线AF、BF两种区别,可以分以下两种情况建立(1)和(2)（1）共用管线和非公用管线费用相同时:建立管线建设费用的最小值为:qCFBFAFQ3其中:22yaxAF.22xlybBF（2）共用管线和非共用管线费用不相同时:建立管线建设费用的最小值为:314qBFqAFqCFQ根据以上几种不同情形再结合实际数据我们就可以确定选择哪种情形时最省.5.2问题二:根据题中已知的数据及要求，我们利用Matlab编程得出最优方案.x=1:0.1:20;y1=7.2*sqrt((20-x).^2+25)+7.2*sqrt(64+x.^2)+21*5./x.*sqrt(64+x.^2);y2=7.2*sqrt((20-x).^2+25)+7.2*sqrt(64+x.^2)+24*5./x.*sqrt(64+x.^2);y3=7.2*sqrt((20-x).^2+25)+7.2*sqrt(64+x.^2)+20*5./x.*sqrt(64+x.^2);plot(x,y1,'-',x,y2,':',x,y3,'-.');yxAOBCMF图三晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文7图四由图四可以明显看出该情况下当附加费用为每千米20万元时费用最少.图五AOFCMBD02468101214161820200300400500600700800900100011001200晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文8x=1:0.1:20;y=0:0.1:5;[x,y]=meshgrid(x,y);z1=7.2*(y+sqrt((-1*y+8).^2+(x-5).^2))+sqrt((-1*x+20).^2+(-1*y+5).^2)+21*5;z2=7.2*(y+sqrt((-1*y+8).^2+(x-5).^2))+sqrt((-1*x+20).^2+(-1*y+5).^2)+24*5;z3=7.2*(y+sqrt((-1*y+8).^2+(x-5).^2))+sqrt((-1*x+20).^2+(-1*y+5).^2)+20*5;plot3(x,y,z1,'-',x,y,z2,'-.',x,y,z3,':');051015200246160180200220240260280图五（1）由图五（1）可以看出在该情况下附加费用为每千米20万元时最省.x=1:0.1:9.9;y=0:0.1:5;[x,y]=meshgrid(x,y);z2=7.2*(y+sqrt((-1*y+5).^2+(-1*x+8).^2)+sqrt(x.^2+(-1*y+8).^2))+(x-5)./(-1*x+10).*sqrt(x.^2+(-1*y+8).^2)*20;plot3(x,y,z2);q=21q=20q=24图六AOCDBF晋中学院数学学院2011届本科生毕业论文902468100246050001000015000图六（1）综合上面图示可以看出当附加费用为每千米20万元时最省.x=10.1:0.1:20;y=0:0.1:5;[x,y]=meshgrid(x,y);z=7.2*(y+sqrt((-1*y+5).^2+(-1*x+8).^2)+sqrt(x.^2+(-1*y+8).^2))+(x-5)./(-1*x+10).*sqrt(x.^2+(-1*y+8).^2)*21;plot3(x,