三个正数的算术-几何平均不等式

选修4-5衡阳县六中彭贤华两个正数的算术平均不小于它们的几何平均时，等号成立当且仅当，那么（重要不等式）：如果定理baabbaRba,2,122时，等号成立当且仅当，那么（基本不等式）：如果定理baabbaba,20,233abccba猜想：类比两个正数的算术平均和几何平均的关系，我们猜想三个正数的算术平均和几何平均之间有什么关系？的算术平均数：三个正数cba,,的几何平均数：三个正数cba,,3cba3abc.,,3,,,:333等号成立时当且仅当则若证明cbaabccbaRcba和的立方公式：3223333)(yxyyxxyx立方和公式：))((2233yxyxyxyx3,.,,3abcabcRabcabc若那么当且仅当时，等号成立。定理3三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.推论:33abccba.,等号成立时当且仅当cba为定值时abc)1(为定值时cba)2(3)3(cbaabc.,等号成立时当且仅当cba三个正数的算术-几何不等式推广：n个正数的算术-几何平均不等式.,,321321321等号成立时当且仅当nnnnaaaaaaaanaaaan个正数的算术平均不小于它们的几何平均如果*12,,,,1naaaRnnN且则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数。nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数。例１求函数的最小值．下面解法是否正确？)0(322xxxy解法１：由知，则当且仅当0x03,022xxxxxxxy62322322233min321822362,2332yxxx时即不满足积定解法2：例１求函数的最小值．下面解法是否正确？)0(322xxxy02,01,02,02xxxxxxxxxy21232223min43y332432123yxxx等号不成立例１求函数的最小值．)0(322xxxy解法3：0x,023,022xxxxxxxy232323222时，上式取等号即当且仅当3243232xxx33min3623293y332293232323yxxx一正二定三相等小结：利用三个正实数的基本不等式求最值时注意：2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧（拆项时常拆成两个相同项）。1、一正、二定、三相等；的最小值是、函数)0(12312xxxyA、6B、C、9D、1266（）C912232331223231233222xxxxxxxxy解析：21223xx当且仅当时上式取等号即3x9miny构造三个数之积为定值.变式训练：___)1(1642222的最小值是、函数xxy8222)1(164xxy解析：4)1(1612122222xxx）（）（84)1(161212332222xxx）（）（时上式取等号时，即）（当且仅当1)1(1612222xxx8miny变式训练：例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ax解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则xxaV2)2(xxaxa4)2)(2(4127234)2()2(4133axxaxa当且仅当即当时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值．即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，盒子的容积最大．xxaxa4226ax2723a61变式训练：的最大值是、函数)20)(2(124xxxyA、0B、1C、D、（）27162732D__)(1,,2bbaabaRba则且、若3构造三个数之和为定值.3、利用基本不等式求某些函数的最值时“一正二定三相等”这三个条件缺一不可；4、不能直接利用定理时，要善于转化变形，通过变形达到化归的目的；这节课我们学到了什么？nnnaaaanaaaa3213211、三个正数的算术几何不等式：33abccba2、n个正数的算术几何不等式：习题1.1第12、14题