5.1 二元运算及其性质

1代数结构2006/10/82代数结构前言什么是代数代数是一门研究运算的科学.代数中的运算对象是整数,实数,有理数等运算可以是:加,减,乘,除古典代数数学工作者逐渐认识到,运算对象不仅可以是数字,事实上还可以其他很多其他元素,如:矩阵,多项式,命题,集合等.运算还可以是:与,或,非,并,交,补等.3并且发现:某些运算遵循的某些规律,如交换律,结合律,分配律等.近世代数近世代数是近代数学的一个重要分支,在计算机科学领域有着广泛应用.x+y=y+xx×y=y×x交换律(x+y)+z=x+(y+z)(x×y)×z=x×(y×z)结合律问题:减法和除法是否满足交换律,结合律?x×(y+z)=x×y+x×z乘法对加法的分配律问题:加法对乘法的有分配律吗?4在近世代数中,研究的主要对象是代数结构(也叫代数系统),典型的代数系统有:群,环,域等什么是代数系统呢,简单地说,就是集合上的具有封闭性的运算.课程将用4学时介绍代数系统的一些基本概念.510.1二元运算及其性质什么是二元运算二元运算有哪些性质交换律,结合律,分配律,幂等律,吸收律等二元运算中的一些特异元素单位元,零元,逆元6什么是二元运算1)首先给定一个集合S,和一个运算2)参加运算的是S中的任意两个元素3)满足封闭性:运算的结果必须仍然是S中的元素.满足以上条件,该运算为该集合上的二元运算.例1(1)N上的加法、乘法是二元运算：两个自然数相加和相乘仍然是自然数(2)N上的减和除法是二元运算吗?(2)Z上的加法、减法、乘法是二元运算.(3)非零实数集R*上的乘法、除法是二元运算.7二元运算的实例（续）(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：∪,∩,－,.(7)SS为S上的所有函数的集合：合成运算∘.njiRaaaaaaaaaaRMijnnnnnnn,...,2,1,,)(2122221112118一元运算例2(1)Z,Q和R上求相反数的运算是一元运算(2)自然数N上求相反数是一元运算吗?(3)非零有理数集Q*，非零实数集R*上求倒数是一元运算.(4)N,Z上求倒数是一元运算吗?1)首先给定一个集合S,和一个运算2)参加运算的是S中的任意一个元素3)满足封闭性:运算的结果必须也是S中的元素.满足以上条件,该运算为该集合上的一元运算.9二元与一元运算的表示通常用算符：∘,∗,·,,等符号来表示二元或一元运算对二元运算∘，如果x与y运算得到z，记做x∘y=z；对一元运算∘,x的运算结果记作∘x*一般可以读做“*运算”，也就是“星运算”∘就读做“圈运算”。10给出二元或一元运算有两种方法：解析式、运算表1解析式表示例3设R为实数集合，如下定义R上的如下二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=30.5∗(-3)=0.57∗2.5=?二元与一元运算的表示（续）112用运算表表示+1234…X-X1234..23453456456756781234-1-2-3-4表头表头算符12∘a1a2…an∘aia1a2...ana1∘a1a1∘a2…a1∘ana2∘a1a2∘a2…a2∘an.........an∘a1an∘a2…an∘ana1a2...an∘a1∘a2...∘an二元运算的运算表一般形式一元运算的运算表13运算表的实例P183例10.4A=P({a,b}),,∼分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集）的运算表∼的运算表{a}{b}{a,b}X∼X{a}{b}{a,b}{a}{b}{a,b}{a}{a.b}{b}{b}{a,b}{a}{a,b}{b}{a}{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}观察运算的封闭性14例10.5Z5={0,1,2,3,4},p183表示模5加法(x+y)mod5表示模5乘法(xy)mod5的运算表的运算表0123401234012340123412340234013401240123012340000001234024130314204321观察运算的封闭性15课堂练习P192第1题列出运算表:(1)第4题判断给定集合上的运算是否封闭?(1)(2)(9)16二元运算的性质在实际应用中,只有满足某些特定性质(如交换律,结合律,幂等律,分配律,吸收律,消去律)的运算才有实际意义.17交换律定义设∘为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,yS有x∘y=y∘x,则称运算在S上满足交换律.例如:1实数集合上的加法和乘法可交换,减法不可交换2幂集P(S)上的∪,∩,AB是可交换的,相对补(A-B)不可交换A∪B=B∪AAB=BAA-B≠B-A18结合律和幂等律(2)如果对于任意的x,y,z∈S有(x∘y)∘z=x∘(y∘z),则称运算在S上满足结合律.例如:普通加法,乘法在N,Z,Q,R上满足结合律减法不满足(3)如果对于任意的x∈S有x∘x=x,则称运算在S上满足幂等律.如:A∪A=A,A∩A=A,即集合的并和交运算满足幂等律普通数的加和乘运算不满足幂等律.19实例分析Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A(所有A到A的函数)，|A|2.集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+有有无普通乘法有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法无有无P(B)并有有有交有有有相对补无无无对称差有有无AA函数符合无有无20分配律:是对两个二元运算而言定义设∘和∗为S上两个不同的二元运算,(1)如果x,y,z∈S有(x∗y)∘z=(x∘z)∗(y∘z)z∘(x∗y)=(z∘x)∗(z∘y)则称∘运算对∗运算满足分配律.如:x×(y+z)=x×y+x×z(y+z)×x=y×z+z×x则称乘法对加法满足分配律例如:实数集上普通乘法对加法是可分配的.n阶实矩阵乘法对加法是可分配的.幂集P(S)上∪和∩是互相可分配的.21(2)如果∘和∗都可交换,并且x,y∈S有x∘(x∗y)=xx∗(x∘y)=x则称∘和∗运算满足吸收律.例:幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A吸收律22实例分析集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配无+对不分配Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配无+对不分配P(B)并与交对可分配有对可分配交与对称差对可分配无对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|2.23如何判断二元运算的性质法一：用运算表进行判断法二：用解析式验证24法一:通过运算表1交换律：运算表关于主对角线对称2幂等律：主对角线元素排列x1,x2…xi与表头顺序x1,x2…xi一致,即xi∘xi=xi其他性质，如结合律,在运算表中没有明显特征，要对所有3个元素的组合验证进行判断．abc∘abcabcabccababcbcaabcaaabbbcccabcabcbccccc满足交换、结合律∘满足结合、幂等律满足交换、结合律练习:习题10(1)25法２：用解析式验证方法:任取x,y,z.通过验证相关算律等式是否成立例6设∘运算为Q上的二元运算，x,yQ,x∘y=x+y+2xy,∘运算是否满足交换和结合律?说明理由.解(a)任取x,yQ,x∘y=x+y+2xy,y∘x=y+x+2yxx∘y=y∘x所以，∘运算可交换，(b)结合律:判断(x∘y)∘z?=x∘(y∘z)26(b)结合律判断任取x,y,zQ,(x∘y)∘z=(x+y+2xy)∘z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx∘(y∘z)=x∘(y+z+2yz)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz(x∘y)∘z=x∘(y∘z)所以，∘运算可结合27课堂练习:P192第5题:(1)(2)(9)课后作业第1题(2)第7题(1)(2)28习题解答P191习题104判断给定集合上的运算是否封闭(1)Z上减法封闭,不符合交换律,结合律,幂等律(2)Z*上除不封闭,(3)S上加法不封闭S上乘法封闭,符合交换律,结合律,幂等律0*0=0,1*1=129第7题(2)满足交换律,结合律.幂等律30代数系统的几种特异元素单位元(幺元)(identityelements)定义设∘为S上的二元运算,如果存在eS，使得对任意x∈S都有e∘x=x∘e=x，则称e是S上关于∘运算的单位元.单位元也叫做幺元.例:1x∈N,x+0=x在自然数集合N上加法的单位元是0.2x∈N,x×1=x在自然数集合N上乘法的单位元是131零元(zero)设∘为S上的二元运算,如果存在θ∈S，使得对任意x∈S都有θ∘x=x∘θ=θ，则称θ为S上关于运算∘的零元.例x∈N,x×0=0自然数集合N上乘法的零元是0自然数集合N上加法没有零元.32逆元(inverseelement)在代数系统S,∘中,e为单位元,x,y∈S,对于任意x,存在y使得:x∘y=y∘x=e则称y为x的逆元.例:(1)x∈Z,x+(-x)=0,且-x∈Z在整数集合z中,加法单位元为0,对任何整数,它的加法逆元都存在,即它的相反数-x.(自然数集合呢)(2)x∈R,x×(1/x)=1,且1/x∈R在实数集合R中,乘法单位元为1,对任何实数,它的乘法逆元都存在,即它的倒数1/x.(整数集合呢)33唯一性定理:1对于给定的集合和二元运算,如果单位元和零元存在,则必是唯一的.2对于可结合的二元运算,元素x的逆元如果存在,该逆元是唯一的.逆元的特点:逆元和单位元不同,逆元与集合中某个元素相关,不同元素对应不同的逆元.例:(Q,+,·)中,5的加法逆元是-5,乘法逆元是1/5.-2的加法逆元是2,乘法逆元是-1/2.34实例分析集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0无X的逆元x普通乘法10X的逆元x1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元X矩阵乘法n阶单位矩阵n阶全0矩阵X的逆元X1（X是可逆矩阵）P(B)并B的逆元为交BB的逆元为B对称差无X的逆元为X35惟一性定理定理设∘为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el=er=e为S上关于∘运算的惟一的单位元.证el=el∘er=el∘er=er所以el=er,将这个单位元记作e.假设e’也是S中的单位元，则有e’=e∘e’=e.惟一性得证.类似地可以证明关于零元的惟一性定理.注意：当|S|2，单位元与零元是不同的；当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.36惟一性定理（续）定理设∘为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.证由yl∘x=e和x∘yr=e得yl=yl∘e=yl∘(x∘yr)=(yl∘x)∘yr=e∘yr=yr令yl=yr=y,则y是x的逆元.假若y’∈S也是x的逆元,则y'=y’∘e=y’∘(x∘y)=(y’∘x)∘y=e∘y=y所以y是x惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x1.37通过运算表求特异元素单位元：设表头元素的排列顺序为x1,x2..xn,如果元素xi所在的行和列的元素排列顺序也是x1,x2…xn,则xi为单位元(幺元).零元：如果元素xi所在的行和列的元素都是xi,则xi是零元.0123401234012340123412340234013401240123012340000001234024130314204321表示模5加法(x+y)mod5表示模5乘法(xy)mod538逆元：a所在的行中某列(比如第j列